En mathématiques, les ensembles représentent l'assemblage de divers objets et les opérations effectuées avec les ensembles sont: l'union, l'intersection et la différence.
Utilisez les 10 questions ci-dessous pour tester vos connaissances. Utilisez les résolutions commentées pour dissiper vos doutes.
question 1
Considérez les ensembles
A = {1, 4, 7}
B = {1, 3, 4, 5, 7, 8}
Il est juste de dire que :
a) Un B
b) Le B
c) B LES
d) B LES
Alternative correcte: b) A B.
Un tort. Il y a des éléments de B qui n'appartiennent pas à l'ensemble A. On ne peut donc pas dire que A contient B. L'énoncé correct serait B LES.
b) CORRECT. Notez que tous les éléments de A sont également des éléments de B. Par conséquent, nous pouvons dire que A est contenu dans B, A fait partie de B, ou que A est un sous-ensemble de B.
c) FAUX. Il n'y a aucun élément de A qui n'appartienne à l'ensemble B. On ne peut donc pas dire que B ne contient pas A.
d) FAUX. Puisque A est un sous-ensemble de B, alors l'intersection des ensembles A et B est l'ensemble A lui-même: B A = A
question 2
Regardez les ensembles suivants et cochez la bonne alternative.
A = {x|x est un multiple positif de 4}
B = {x|x est un nombre pair et 4 X
16}
a) 145 LES
b) 26 A et B
c) 11 B
d) 12 A et B
Alternative correcte: d) 12 A et B
Les ensembles de questions sont représentés par leurs lois de formation. Ainsi, l'ensemble A est formé de multiples positifs de 4, soit A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,…} et l'ensemble B regroupe les nombres pairs supérieurs ou égaux à 4 et inférieurs à 16. Par conséquent, B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
En analysant les alternatives, on a :
Un tort. 145 est un nombre se terminant par 5 et est donc un multiple de 5.
b) FAUX. 26, bien qu'étant un nombre pair, est supérieur à 16 et, par conséquent, ne fait pas partie de l'ensemble B.
c) FAUX. 11 n'est pas un nombre pair, mais un nombre premier, c'est-à-dire qu'il n'est divisible que par 1 et lui-même.
d) CORRECT. 12 appartient aux ensembles A et B car c'est un multiple de 4 et c'est un nombre pair supérieur à 4 et inférieur à 16.
question 3
Quelle est la loi de formation possible de l'ensemble A = {2, 3, 5, 7, 11} ?
a) A = {x|x est un nombre symétrique et 2 b) A = {x|x est un nombre premier et 1 c) A = {x|x est un nombre impair positif et 1 d) A = {x| x est un nombre naturel inférieur à 10}
Alternative correcte: b) A = {x|x est un nombre premier et 1
Un tort. Les nombres symétriques, également appelés opposés, apparaissent à la même distance sur la droite numérique. Par exemple, 2 et - 2 sont symétriques.
b) CORRECT. L'ensemble présenté est composé de nombres premiers, 2 étant le plus petit nombre premier existant et aussi le seul qui soit pair.
c) FAUX. Bien que la plupart des nombres soient impairs, il y a le nombre 2 dans l'ensemble, qui est pair.
d) FAUX. Bien que tous les nombres soient naturels, l'ensemble contient le nombre 11, qui est supérieur à 10.
question 4
L'union des ensembles A = {x|x est un nombre premier et 1
a) Un B = {1,2,3,5.7}
b) Le B = {1,2,3,5.7}
c) Le B = {1,2,3,5.7}
donne B = {1,2,3,5.7}
Alternative correcte: d) A B = {1, 2, 3, 5, 7}
Pour l'ensemble A = {x|x est un nombre premier et 1
A = {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7}
Un tort. A ne contient pas B, car l'élément 1 ne fait pas partie de A.
b) FAUX. A n'est pas contenu dans B, car l'élément 2 ne fait pas partie de B.
c) FAUX. A n'appartient pas à B, car les ensembles ont un élément distinct.
d) CORRECT. L'union des ensembles correspond à la réunion des éléments qui les composent et est représentée par le symbole .
Par conséquent, l'union de A = {2, 3, 5, 7} et B = {1, 3, 5, 7} est A U B = {1, 2, 3, 5, 7}.
question 5
Tracer les ensembles A = {-3, - 1, 0, 1, 6, 7}, B = {-4, 1, 3, 5, 6, 7} et C = {-5, - 3, 1, 2, 3, 5} dans le diagramme de Venn puis déterminez :
a) Un B
avant JC B
c) C-A
d) B (LES
Ç)
Bonne réponse:
a) {1, 6, 7} ;
b) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7} ;
c) {-5, 2, 3, 5} et
d) {1, 3, 5, 6, 7}.
En distribuant les éléments des ensembles dans le diagramme de Venn, on a :
Lorsque vous effectuez des opérations avec les ensembles donnés, nous avons les résultats suivants :
a) Un B = {1, 6, 7}
avant JC B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}
c) C - A = {-5, 2, 3, 5}
d) B (LES
C) = {1, 3, 5, 6, 7}
question 6
Notez la zone hachurée de la figure et marquez l'alternative qui la représente.
a) C (LES
B)
b) C - (A B)
c) C (UN B)
d) C (LES
B)
Bonne réponse: b) C – (A B)
Notez que la zone hachurée représente des éléments qui n'appartiennent pas aux ensembles A et B. Il s'agit donc d'une différence entre les ensembles, que nous désignons par (–).
Comme les ensembles A et B ont la même couleur, on peut dire qu'il existe une représentation de l'union des ensembles, c'est-à-dire la réunion des éléments de A et B, représentée par A B.
Par conséquent, nous pouvons dire que la zone hachurée est la différence de C à partir de l'union de A et B, c'est-à-dire C - (A B).
question 7
Dans un cours pré-universitaire, 600 étudiants sont inscrits dans des matières isolées. 300 élèves suivent des cours de mathématiques, 200 élèves suivent des cours de portugais et 150 élèves ne fréquentent pas ces matières.
En considérant les étudiants inscrits au cours (U), les étudiants en mathématiques (M) et les étudiants en portugais (P), déterminer :
a) le nombre d'étudiants en mathématiques ou en portugais
b) le nombre d'étudiants en mathématiques et en portugais
Bonne réponse:
a) n (M P) = 450
b) n (M P) = 50
a) le nombre d'étudiants demandé comprend à la fois les étudiants en mathématiques et les étudiants portugais. Il faut donc trouver l'union des deux ensembles.
Le résultat peut être calculé en soustrayant le nombre total d'élèves de l'école par le nombre d'élèves ne suivant pas ces matières.
n (M P) = n (U) - 150 = 600 - 150 = 450
b) comme le résultat demandé provient d'étudiants en mathématiques et en portugais, il faut trouver l'intersection des ensembles, c'est-à-dire les éléments communs aux deux ensembles.
On peut calculer l'intersection des deux ensembles en additionnant le nombre d'étudiants inscrits dans les matières de le portugais et les mathématiques, puis en soustrayant le nombre d'élèves étudiant ces deux matières en même temps temps.
n (M P) = n (M) + n (P) - n (M
P) = 300 + 200 - 450 = 50
question 8
Les ensembles numériques incluent les ensembles suivants: Naturels (ℕ), Entiers (ℤ), Rationnels (ℚ), Irrationnels (I), Réels (ℝ) et Complexes (ℂ). Sur les ensembles précités, cochez la définition qui correspond à chacun d'eux.
1. nombres naturels |
( ) couvre tous les nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction, avec un numérateur et un dénominateur entiers. |
| 2. entiers | ( ) correspond à l'union des rationnels avec les irrationnels. |
| 3. nombres rationnels | ( ) sont des nombres décimaux, infinis et non périodiques et ne peuvent pas être représentés par des fractions irréductibles. |
| 4. nombres irrationnels | ( ) est formé par les nombres que nous utilisons dans les comptes {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...} |
| 5. nombres réels | ( ) inclut les racines de type -n. |
| 6. Nombres complexes | ( ) regroupe tous les éléments des nombres naturels et leurs contraires. |
Bonne réponse: 3, 5, 4, 1, 6, 2.
(3) Le nombres rationnels couvrir tous les nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction, avec un numérateur entier et un dénominateur. Cet ensemble comprend des divisions non exactes. ℚ = {x = a/b, avec a ∈ ℤ, b ∈ ℤ et b ≠ 0}
(5) Le nombres réels correspondent à l'union des rationnels avec les irrationnels, c'est-à-dire ℝ = ℚ ∪ I.
(4) Le nombres irrationnels ce sont des nombres décimaux, infinis et non périodiques et ne peuvent pas être représentés par des fractions irréductibles. Les nombres de ce groupe résultent d'opérations dont le résultat n'a pu être écrit sous forme de fraction. Par exemple à 2.
(1) Le nombres naturels sont formés par les nombres que nous utilisons dans les comptes ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}.
(6) Le nombres complexes inclure des racines de type √-n et est donc une extension de nombres réels.
(2) Le nombres entiers rassembler tous les éléments des nombres naturels et leurs opposés. Pour pouvoir résoudre toutes les soustractions, telles que 7 - 10, l'ensemble des naturels a été étendu, apparaissant ainsi l'ensemble des entiers. ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}
question 9
(UNB-Adapté) À partir de 200 personnes interrogées sur leurs préférences pour regarder des championnats de course à la télévision, les données suivantes ont été recueillies :
- 55 % des personnes interrogées ne regardent pas ;
- 101 regarder des courses de Formule 1 ;
- 27 regarder les courses de Formule 1 et de Moto ;
Combien de personnes interrogées regardent exclusivement des courses de motos ?
a) 32
b) 44
c) 56
d) 28
Bonne réponse: b) 44.
Étape 1: Déterminez le nombre total de personnes qui regardent les courses
Pour cela, il suffit de soustraire le nombre total de répondants de ceux qui ont déclaré ne pas assister aux championnats de course.
200 - 55 = 145 personnes
2ème étape: calculez le nombre de personnes qui ne regardent que les courses de Moto
74 + 27 + (x – 27) = 145
x + 74 = 145
x = 145 - 74
x = 71
En soustrayant la valeur de x de l'intersection des deux ensembles, nous trouvons le nombre de répondants qui ne regardent que les courses de vitesse de moto.
71 - 27 = 44
question 10
(UEL-PR) A un moment donné, trois chaînes de télévision avaient, dans leur programmation, des feuilletons en prime time: feuilleton A sur la chaîne A, feuilleton B sur la chaîne B et feuilleton C sur la chaîne C. Dans une enquête auprès de 3000 personnes, il a été demandé quels feuilletons ils aimaient. Le tableau ci-dessous indique le nombre de téléspectateurs qui ont désigné les feuilletons comme agréables.
| feuilletons | Nombre de téléspectateurs |
| LES | 1450 |
| B | 1150 |
| Ç | 900 |
| A et B | 350 |
| A et C | 400 |
| B et C | 300 |
| A, B et C | 100 |
Combien de téléspectateurs interrogés ne trouvent aucun des trois feuilletons agréables ?
a) 300 téléspectateurs.
b) 370 téléspectateurs.
c) 450 téléspectateurs.
d) 470 téléspectateurs.
e) 500 téléspectateurs.
Bonne réponse: c) 450 téléspectateurs.
Il y a 450 téléspectateurs qui ne trouvent aucune des trois telenovelas agréable.
Pour en savoir plus, consultez les textes suivants :
- Théorie des ensembles
- Opérations avec des ensembles
- Ensembles numériques
- Exercices sur les ensembles numériques
