LES ressemblance triangulaire est utilisé pour trouver la mesure inconnue d'un triangle en connaissant les mesures d'un autre triangle.
Lorsque deux triangles sont semblables, les mesures de leurs côtés correspondants sont proportionnelles. Cette relation est utilisée pour résoudre de nombreux problèmes de géométrie.
Alors, profitez des exercices commentés et résolus pour lever tous vos doutes.
Problèmes résolus
1) Apprenti Marin - 2017
Voir la figure ci-dessous
Un bâtiment projette une ombre de 30 m de long sur le sol au même instant qu'une personne de 6 m de haut projette une ombre de 2,0 m. On peut dire que la hauteur du bâtiment vaut
a) 27 mètres
b) 30 mètres
c) 33 mètres
d) 36 mètres
e) 40 mètres
On peut considérer que le bâtiment, son ombre projetée et le rayon du soleil forment un triangle. De même, nous avons aussi un triangle formé par la personne, son ombre et le rayon du soleil.
Considérant que les rayons du soleil sont parallèles et que l'angle entre le bâtiment et le sol et la personne est le sol est égal à 90º, les triangles, indiqués dans la figure ci-dessous, sont semblables (deux angles équivaut à).
Puisque les triangles sont semblables, on peut écrire la proportion suivante :
Alternative: a) 27 m
2) Fuvest - 2017
Dans la figure, le rectangle ABCD a des côtés de longueur AB = 4 et BC = 2. Soit M le milieu du côté et N le milieu du côté
. Les segments
intercepter le segment
aux points E et F, respectivement.
L'aire du triangle AEF est égale à
L'aire du triangle AEF peut être trouvée en diminuant l'aire du triangle ABE de l'aire du triangle AFB, comme indiqué ci-dessous :
Commençons par trouver l'aire du triangle AFB. Pour cela, nous devons connaître la valeur de la hauteur de ce triangle, car la valeur de base est connue (AB = 4).
Notez que les triangles AFB et CFN sont similaires en ce qu'ils ont deux angles égaux (cas AA), comme le montre la figure ci-dessous :
Traçons la hauteur H1, par rapport au côté AB, dans le triangle AFB. Comme la mesure du côté CB est égale à 2, on peut considérer que la hauteur relative du côté NC dans le triangle FNC est égale à 2 - H1.
On peut alors écrire la proportion suivante :
Connaissant la hauteur du triangle, on peut calculer son aire :
Pour trouver l'aire du triangle ABE, vous devrez également calculer sa valeur de hauteur. Pour cela, nous utiliserons le fait que les triangles ABM et AOE, indiqués dans la figure ci-dessous, sont similaires.
De plus, le triangle OEB est un triangle rectangle et les deux autres angles sont égaux (45º), c'est donc un triangle isocèle. Ainsi, les deux jambes de ce triangle valent H2, comme l'image ci-dessous :
Ainsi, le côté AO du triangle AOE est égal à 4 - H2. Sur la base de ces informations, nous pouvons indiquer la proportion suivante :
Connaissant la valeur de la hauteur, on peut maintenant calculer l'aire du triangle ABE :
Ainsi, l'aire du triangle AFE sera égale à :
Alternative: d)
3) Céfet/MG - 2015
L'illustration suivante représente une table de billard rectangulaire, d'une largeur et d'une longueur égales respectivement à 1,5 et 2,0 m. Un joueur doit lancer la balle blanche du point B et frapper la balle noire au point P, sans toucher d'autre, en premier. Comme la jaune est au point A, ce joueur lancera la balle blanche au point L, afin qu'elle puisse rebondir et entrer en collision avec la noire.
Si l'angle de la trajectoire d'incidence de la balle sur le côté de la table et l'angle de rebond sont égaux, comme indiqué sur la figure, alors la distance de P à Q, en cm, est d'environ
a) 67
b) 70
c) 74
d) 81
Les triangles, marqués en rouge dans l'image ci-dessous, sont similaires, car ils ont deux angles égaux (angle égal à et angle égal à 90º).
On peut donc écrire la proportion suivante :
Alternative: a) 67
4) Collège militaire/RJ - 2015
Dans un triangle ABC, les points D et E appartiennent respectivement aux côtés AB et AC et sont tels que DE // BC. Si F est un point de AB tel que EF // CD et que les mesures de AF et FD e soient respectivement 4 et 6, la mesure du segment DB est :
a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.
Nous pouvons représenter le triangle ABC, comme indiqué ci-dessous :
Puisque le segment DE est parallèle à BC, les triangles ADE et ABC sont similaires en ce que leurs angles sont congrus.
On peut alors écrire la proportion suivante :
Les triangles FED et DBC sont également similaires, car les segments FE et DC sont parallèles. Ainsi, la proportion suivante est également vraie :
En isolant le y dans cette proportion, on a :
Remplacement de la valeur y dans la première égalité :
Alternative: a) 15
5) Epcar - 2016
Un terrain en forme de triangle rectangle sera divisé en deux lots par une clôture faite sur la bissectrice de l'hypoténuse, tel qu'illustré à la figure.
On sait que les côtés AB et BC de ce terrain mesurent respectivement 80 m et 100 m. Ainsi, le rapport entre le périmètre du lot I et le périmètre du lot II, dans cet ordre, est de
Pour connaître le rapport entre les périmètres, nous devons connaître la valeur de tous les côtés de la figure I et de la figure II.
Notez que la bissectrice de l'hypoténuse divise le côté BC en deux segments congrus, de sorte que les segments CM et MB mesurent 50 m.
Puisque le triangle ABC est un rectangle, nous pouvons calculer le côté AC, en utilisant le théorème de Pythagore. Cependant, notez que ce triangle est un triangle de Pythagore.
Ainsi, l'hypoténuse étant égale à 100 (5. 20) et l'une des deux jambes égales à 80 (4.20), alors l'autre jambe ne peut être égale à 60 (3.20).
Nous avons également identifié que les triangles ABC et MBP sont similaires (cas AA), car ils ont un angle commun et l'autre égal à 90º.
Donc, pour trouver la valeur de x on peut écrire la proportion suivante :
La valeur de z peut être trouvée en considérant la proportion :
On peut aussi trouver la valeur de y en faisant :
Maintenant que nous connaissons tous les côtés, nous pouvons calculer les périmètres.
Périmètre de la figure I :
Périmètre de la figure II :
Par conséquent, le rapport entre les périmètres sera égal à :
Alternative: d)
6) Enem - 2013
Le propriétaire d'une ferme souhaite mettre une tige de support pour mieux sécuriser deux poteaux de longueurs égales à 6 m et 4 m. La figure représente la situation réelle dans laquelle les poteaux sont décrits par les segments AC et BD et la tige est représenté par le segment EF, tout perpendiculaire au sol, qui est indiqué par le segment de droite UN B. Les segments AD et BC représentent les câbles d'acier qui seront installés.
Quelle doit être la valeur de la longueur de tige EF ?
a) 1 mètre
b) 2 mètres
c) 2,4 m
d) 3 mètres
e) 2 m
Pour résoudre le problème, appelons la hauteur de la tige comme z et les mesures des segments AF et FB de X et oui, respectivement, comme indiqué ci-dessous :
Le triangle ADB est similaire au triangle AEF en ce sens que les deux ont un angle égal à 90° et un angle commun, ils sont donc similaires dans le cas AA.
On peut donc écrire la proportion suivante :
En multipliant "en croix", on obtient l'égalité :
6x = h (x + y) (I)
D'autre part, les triangles ACB et FEB seront également similaires, pour les mêmes raisons présentées ci-dessus. On a donc la proportion :
Résoudre de la même manière :
4y = h (x + y) (II)
Notez que les équations (I) et (II) ont la même expression après le signe égal, nous pouvons donc dire que :
6x = 4y
Substituer la valeur de x dans la deuxième équation :
Alternative: c) 2,4 m
7) Fuvest - 2010
Sur la figure, le triangle ABC est rectangulaire de côtés BC = 3 et AB = 4. De plus, le point D appartient à la clavicule. , le point E appartenant à la clavicule
et le point F appartient à l'hypoténuse
, tel que DECF est un parallélogramme. si
, donc l'aire du parallélogramme DECF vaut
L'aire du parallélogramme se trouve en multipliant la valeur de base par la hauteur. Appelons h la hauteur et x la mesure de base, comme indiqué ci-dessous :
Puisque DECF est un parallélogramme, ses côtés sont parallèles deux à deux. De cette façon, les côtés AC et DE sont parallèles. Alors les angles ce sont les mêmes.
On peut alors identifier que les triangles ABC et DBE sont similaires (cas AA). On a aussi que l'hypoténuse du triangle ABC est égale à 5 (triangle 3,4 et 5).
De cette façon, écrivons la proportion suivante :
Pour trouver la mesure x de la base, on considérera la proportion suivante :
En calculant l'aire du parallélogramme, on a :
Alternative: a)
