LES règle de trois est une procédure utilisée pour résoudre des problèmes impliquant des quantités proportionnelles.
Parce qu'il a une énorme applicabilité, il est très important de savoir comment résoudre les problèmes à l'aide de cet outil.
Alors, profitez des exercices annotés et des questions résolues du concours pour vérifier vos connaissances sur ce sujet.
Exercices commentés
Exercice 1
Pour nourrir votre chien, une personne dépense 10 kg de nourriture tous les 15 jours. Quelle est la quantité totale d'aliments consommés par semaine, sachant que la même quantité d'aliments est toujours ajoutée par jour ?
Solution
Il faut toujours commencer par identifier les grandeurs et leurs relations. Il est très important d'identifier correctement si les quantités sont directement ou inversement proportionnelles.
Dans cet exercice, la quantité totale de nourriture consommée et le nombre de jours sont directement proportionnels, car plus il y a de jours, plus le montant total dépensé est important.
Pour mieux visualiser la relation entre les quantités, nous pouvons utiliser des flèches. La direction de la flèche pointe vers la valeur la plus élevée de chaque magnitude.
Les quantités dont les paires de flèches pointent dans la même direction sont directement proportionnelles et celles qui pointent dans des directions opposées sont inversement proportionnelles.
Résolvons ensuite l'exercice proposé, selon le schéma ci-dessous :
En résolvant l'équation, on a :
Ainsi, la quantité de nourriture consommée par semaine est d'environ 4,7 kg.
Voir aussi: Rapport et proportion
Exercice 2
Un robinet remplit un réservoir en 6 h. Combien de temps faudra-t-il pour remplir le même réservoir si 4 robinets avec le même débit que le robinet précédent sont utilisés ?
Solution
Dans ce problème, les quantités impliquées seront le nombre de prises et le temps. Cependant, il est important de noter que plus le nombre de robinets est grand, moins il faut de temps pour remplir le réservoir.
Les quantités sont donc inversement proportionnelles. Dans ce cas, lors de l'écriture de la proportion, il faut inverser l'un des rapports, comme le montre le schéma ci-dessous :
Résoudre l'équation :
Ainsi, le réservoir sera complètement plein dans 1,5 h.
Voir aussi: Règle simple et composée de trois
Exercice 3
Dans une entreprise, 50 employés produisent 200 pièces et travaillent 5 heures par jour. Si le nombre d'employés diminue de moitié et que le nombre d'heures de travail par jour est réduit à 8 heures, combien de pièces seront produites ?
Solution
Les quantités indiquées dans le problème sont: nombre d'employés, nombre de pièces et heures travaillées par jour. Nous avons donc une règle composée de trois (plus de deux quantités).
Dans ce type de calcul, il est important d'analyser séparément ce qui arrive à l'inconnue (x), lorsque l'on change la valeur des deux autres quantités.
En faisant cela, nous nous sommes rendu compte que le nombre de pièces sera plus petit si nous réduisons le nombre d'employés, par conséquent, ces quantités sont directement proportionnelles.
Le nombre de pièces augmente si on augmente le nombre d'heures de travail par jour. Par conséquent, ils sont également directement proportionnels.
Dans le schéma ci-dessous, nous indiquons ce fait par les flèches, qui indiquent le sens croissant des valeurs.
En résolvant la règle de trois, on a :
Ainsi, sera produit 160 pièces.
Voir aussi: Règle des trois composés
Problèmes de concours résolus
1) Epcar - 2016
Deux machines A et B de modèles différents, maintenant chacune sa vitesse de production constante, produisent n parties égales ensemble, en 2 heures et 40 minutes simultanément. La machine A travaillant seule, gardant sa vitesse constante, produirait, en 2 heures de fonctionnement, n/2 de ces pièces.
Il est correct d'affirmer que la machine B, gardant sa vitesse de production constante, produirait également n/2 de ces pièces en
a) 40 minutes.
b) 120 minutes.
c) 160 minutes.
d) 240 minutes.
Comme le temps total de production est de 2h et 40 min, et que l'on sait déjà que la machine A produit elle-même en 2h n/2 pièces, voyons donc combien elle produit à elle seule dans les 40 min restantes. Pour cela, utilisons la règle de trois.
Résoudre la règle de trois :
C'est la quantité de pièces produites en 40 min par la machine A, donc en 2 h et 40 min elle produit à elle seule :
On peut alors calculer la quantité produite par la machine B en 2h et 40 min, en soustrayant la quantité produite par les deux machines (n) de la quantité produite par la machine A :
Il est maintenant possible de calculer combien de temps la machine B mettrait à produire n/2 pièces. Pour cela, reprenons une règle de trois :
En résolvant la règle de trois, on a :
Ainsi, la machine B produira n/2 pièces en 240 min.
Variante d: 240 min
Voir aussi: Magnitudes directement et inversement proportionnelles
2) Céfet - MG - 2015
Dans une entreprise, 10 employés produisent 150 pièces en 30 jours ouvrables. Le nombre d'employés dont l'entreprise aura besoin pour produire 200 pièces, en 20 jours ouvrables, est égal à
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
Ce problème implique une règle composée de trois, car nous avons trois quantités: nombre d'employés, nombre de pièces et nombre de jours.
En observant les flèches, on identifie que le nombre de pièces et le nombre d'employés sont des grandeurs
directement proportionnel. Les jours et le nombre d'employés sont inversement proportionnels.
Donc, pour résoudre la règle de trois, il faut inverser le nombre de jours.
Bientôt, 20 employés seront nécessaires.
Variante b: 20
Voir aussi: Trois exercices de règles composées
3) Enem - 2013
Une industrie dispose d'un réservoir d'eau d'une capacité de 900 m3. Lorsqu'il est nécessaire de nettoyer le réservoir, toute l'eau doit être vidangée. L'évacuation de l'eau se fait par six drains, et elle dure 6 heures lorsque le réservoir est plein. Cette industrie construira un nouveau réservoir, d'une capacité de 500 m3, dont le drainage de l'eau doit être effectué en 4 heures, lorsque le réservoir est plein. Les drains utilisés dans le nouveau réservoir doivent être identiques à ceux existants.
La quantité de drains dans le nouveau réservoir doit être égale à
a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 9
Cette question est une règle de trois composés, étant les quantités impliquées la capacité du réservoir, le nombre de drains et le nombre de jours.
A partir de la position des flèches, on observe que la capacité et le nombre de drains sont directement proportionnels. Le nombre de jours et le nombre de drains sont inversement proportionnels, inversons donc le nombre de jours :
Ainsi, 5 drains seront nécessaires.
Variante c: 5
4) UERJ - 2014
Notez dans le tableau le nombre de médecins actifs inscrits au Conseil fédéral de médecine (CFM) et le nombre nombre de médecins travaillant dans le système de santé unifié (SUS), pour mille habitants, dans les cinq régions du Brésil.
SUS propose 1,0 médecin pour chaque groupe de x habitants.
Dans la région Nord, la valeur de x est approximativement égale à :
a) 660
b) 1000
c) 1334
d) 1515
Pour résoudre le problème, nous considérerons les grandeurs nombre de médecins SUS et le nombre d'habitants dans la région du Nord. Par conséquent, nous devons retirer cette information du graphique présenté.
En faisant la règle de trois avec les valeurs indiquées, on a :
En résolvant la règle de trois, on a :
Par conséquent, SUS fournit environ 1 médecin pour 1515 habitants dans la région du Nord.
Variante d: 1515
Voir aussi: Exercices simples en trois règles
5) Enem - 2017
A 17h15, une forte pluie se déclenche, tombant avec une intensité constante. Une piscine en forme de parallélépipède rectangle, initialement vide, commence à accumuler l'eau de pluie et, à 18 heures, le niveau d'eau à l'intérieur atteint 20 cm de hauteur. A ce moment, la vanne qui libère le débit d'eau par un drain situé au fond de cette piscine, dont le débit est constant, est ouverte. A 18h40, la pluie s'arrête et, à ce moment précis, le niveau d'eau de la piscine descend à 15 cm.
Le moment où l'eau de cette piscine finit de s'écouler complètement se situe entre
a) 19 h 30 min et 20 h 10 min
b) 19 h 20 min et 19 h 30 min
c) 19 h 10 min et 19 h 20 min
d) 19h et 19h 10 min
e) 18 h 40 min et 19 h
L'information nous apprend qu'en 45 min de pluie, la hauteur de l'eau de la piscine est montée à 20 cm. Passé ce délai, le robinet de vidange a été ouvert, mais il a continué à pleuvoir pendant 40 minutes.
Calculons ensuite la hauteur d'eau qui a été ajoutée à la piscine dans cet intervalle de temps, en utilisant la règle de trois suivante :
En calculant cette règle de trois, on a :
Maintenant, calculons la quantité d'eau qui s'est écoulée depuis que le drain a été ouvert. Cette quantité sera égale à la somme d'eau qui a été ajoutée, moins la quantité qui existe encore dans la piscine, soit :
Ainsi, 205/9 cm d'eau ont coulé depuis l'ouverture du drain (40 min). Maintenant, calculons combien de temps il faudra pour drainer la quantité restante dans la piscine après qu'il ait cessé de pleuvoir.
Pour cela, utilisons une autre règle de trois :
En calculant, on a :
Ainsi, la piscine sera vide dans environ 26 min. En ajoutant cette valeur à l'instant où la pluie se termine, elle se videra à environ 19:6 min.
Alternative d: 19h et 19h 10 min
Pour en savoir plus, lisez aussi:
- Pourcentage
- Exercices de pourcentage
- Mathématiques à Enem
- Exercices sur le rapport et la proportion
