Toi Intérêts composés sont calculés en tenant compte du retraitement du capital, c'est-à-dire que les intérêts sont prélevés non seulement sur la valeur initiale, mais également sur les intérêts courus (intérêts sur intérêts).
Ce type d'intérêt, également appelé « capitalisation accumulée », est largement utilisé dans les transactions commerciales et financières (qu'il s'agisse de dettes, de prêts ou d'investissements).
Exemple
Un investissement de 10 000 R$, dans le régime d'intérêt composé, est effectué pendant 3 mois à un intérêt de 10 % par mois. Quel montant sera remboursé à la fin de la période ?
| Mois | Frais | Valeur |
|---|---|---|
| 1 | 10% de 10000 = 1000 | 10000 + 1000 = 11000 |
| 2 | 10% de 11000 = 1100 | 11000 + 1100 = 12100 |
| 3 | 10% de 12100 = 1210 | 12100 + 1210 = 13310 |
Notez que les intérêts sont calculés en utilisant le montant déjà corrigé du mois précédent. Ainsi, à la fin de la période, le montant de 13 310,00 R$ sera remboursé.
Pour mieux comprendre, il est nécessaire de connaître certains concepts utilisés dans mathématiques financières. Sont-ils:
- Capital: valeur initiale d'une dette, d'un prêt ou d'un investissement.
- Intérêts: valeur obtenue lorsque l'on applique la taxe sur le capital.
- Taux d'intérêt: exprimé en pourcentage (%) dans la période appliquée, qui peut être un jour, un mois, deux mois, un trimestre ou une année.
- Montant: capital plus intérêts, c'est-à-dire Montant = Capital + Intérêts.
Formule: Comment calculer les intérêts composés ?
Pour calculer les intérêts composés, l'expression est utilisée :
M = C (1+i)t
Où,
M: montant
C: majuscule
i: taux fixe
t: période de temps
Pour substituer dans la formule, le taux doit être écrit sous forme de nombre décimal. Pour ce faire, il suffit de diviser la valeur donnée par 100. De plus, le taux d'intérêt et le temps doivent se référer à la même unité de temps.
Si nous avons l'intention de calculer uniquement les intérêts, nous appliquons la formule suivante :
J = M - C
Exemples
Pour mieux comprendre le calcul, voir ci-dessous des exemples sur l'application des intérêts composés.
1) Si un capital de 500 R$ est appliqué pendant 4 mois dans le système d'intérêt composé à un taux mensuel fixe qui rapporte un montant de 800 R$, quel est le montant du taux d'intérêt mensuel ?
Étant:
C = 500
M = 800
t = 4
En appliquant la formule, on a :
Le taux d'intérêt étant présenté en pourcentage, il faut multiplier la valeur trouvée par 100. Ainsi, le montant du taux d'intérêt mensuel sera 12,5 % par mois.
2) Combien d'intérêts une personne qui a investi, à intérêt composé, un montant de 5 000,00 R$, au taux de 1% par mois, recevra-t-elle des intérêts à la fin d'un semestre ?
Étant:
C = 5000
i = 1 % par mois (0,01)
t = 1 semestre = 6 mois
En remplacement, nous avons :
M = 5000 (1 + 0,01)6
M = 5000 (1,01)6
M = 5000. 1,061520150601
M = 5307,60
Pour trouver le montant des intérêts, il faut réduire le montant du capital, comme ceci :
J = 5307,60 - 5000 = 307,60
Les intérêts perçus seront de 307,60 R$.
3) Quel devrait être le délai pour que le montant de 20 000,00 R$ génère le montant de 21 648,64 R$, lorsqu'il est appliqué au taux de 2 % par mois, dans le système d'intérêt composé ?
Étant:
C = 20000
M = 21648,64
i = 2 % par mois (0,02)
Remplacement :
Le délai doit être de 4 mois.
Pour en savoir plus, voir aussi :
- Exercices d'intérêts composés
- Exercices d'intérêt simples
- Intérêts simples et composés
- Pourcentage
- Exercices de pourcentage
Astuce vidéo
Obtenez une meilleure compréhension du concept d'intérêt composé dans la vidéo ci-dessous « Introduction à l'intérêt composé » :
Intérêt simple
Toi intérêt simple est un autre concept utilisé en mathématiques financières appliqué à une valeur. Contrairement à l'intérêt composé, il est constant par période. Dans ce cas, au bout de t périodes on a la formule :
J = C. je. t
Où,
J: frais
Ç: capital investi
je: taux d'intérêt
t: périodes
Concernant le montant, l'expression est utilisée: M = C. (1+i.t)
Exercices résolus
Pour mieux comprendre l'application des intérêts composés, consultez ci-dessous deux exercices résolus, l'un d'entre eux étant Enem :
1. Anita décide d'investir 300 R$ dans un investissement qui rapporte 2 % par mois sous le régime des intérêts composés. Dans ce cas, calculez le montant de l'investissement qu'elle aura au bout de trois mois.
En appliquant la formule des intérêts composés nous aurons :
Mnon= C (1+i)t
M3 = 300.(1+0,02)3
M3 = 300.1,023
M3 = 300.1,061208
M3 = 318,3624
N'oubliez pas que dans le système d'intérêt composé, le montant du revenu sera appliqué au montant ajouté chaque mois. Par conséquent:
1er mois: 300+0,02 300 = 306 R$
2e mois: 306+0,02 306 = 312,12 R$
3ème mois: 312,12+0,02 312,12 = 318,36 R$
À la fin du troisième mois, Anita disposera d'environ 318,36 R$.
Voir aussi: comment calculer le pourcentage?
2. (Enem 2011)
Considérez qu'une personne décide d'investir un certain montant et que trois sont présentés possibilités d'investissement, avec des rendements nets garantis pour une période d'un an, selon décrit :
Investissement A: 3% par mois
Investissement B: 36 % par an
Investissement C: 18% par semestre
Les rendements de ces investissements sont basés sur la valeur de la période précédente. Le tableau fournit quelques approches pour analyser les rendements :
| non | 1,03non |
| 3 | 1,093 |
| 6 | 1,194 |
| 9 | 1,305 |
| 12 | 1,426 |
Pour choisir le placement dont le rendement annuel est le plus élevé, cette personne doit :
A) choisissez l'un des investissements A, B ou C, car leur rendement annuel est égal à 36%.
B) choisissez les investissements A ou C, car leurs rendements annuels sont égaux à 39%.
C) choisissez l'investissement A, car son rendement annuel est supérieur aux rendements annuels des investissements B et C.
D) choisir l'investissement B, car sa rentabilité de 36 % est supérieure aux rendements de 3 % sur l'investissement A et de 18 % sur l'investissement C.
E) choisir l'investissement C, car sa rentabilité de 39% par an est supérieure à la rentabilité de 36% par an des investissements A et B.
Pour trouver la meilleure forme d'investissement, il faut calculer chacun des investissements sur une période d'un an (12 mois) :
Investissement A: 3% par mois
1 an = 12 mois
Rendement sur 12 mois = (1 + 0,03)12 − 1 = 1,0312 − 1 = 1,426 – 1 = 0,426 (approximation fournie dans le tableau)
Par conséquent, l'investissement sur 12 mois (1 an) sera de 42,6 %.
Investissement B: 36 % par an
Dans ce cas, la réponse est déjà donnée, c'est-à-dire que l'investissement sur la période de 12 mois (1 an) sera de 36%.
Investissement C: 18% par semestre
1 an = 2 semestres
Rendement en 2 semestres = (1 + 0,18)2 − 1 = 1,182 − 1 = 1,3924 – 1 = 0,3924
C'est-à-dire que l'investissement sur la période de 12 mois (1 an) sera de 39,24%
Par conséquent, lors de l'analyse des valeurs obtenues, nous concluons que la personne doit: "choisissez l'investissement A, car son rendement annuel est supérieur aux rendements annuels des investissements B et C”.
Alternative C: choisissez l'investissement A, car son rendement annuel est supérieur aux rendements annuels des investissements B et C.
