LES théorie des probabilités est la branche des mathématiques qui étudie les expériences ou les phénomènes aléatoires et à travers elle, il est possible d'analyser les chances qu'un certain événement se produise.
Lorsque nous calculons la probabilité, nous associons un degré de confiance que les résultats possibles des expériences se produiront, dont les résultats ne peuvent être déterminés à l'avance.
Ainsi, le calcul de probabilité associe l'occurrence d'un résultat à une valeur qui varie de 0 à 1, et plus le résultat est proche de 1, plus grande est la certitude de son occurrence.
Par exemple, on peut calculer la probabilité qu'une personne achète un billet de loterie gagnant ou connaître les chances qu'un couple ait 5 enfants, tous des garçons.
expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience qui ne peut pas prédire quel résultat sera trouvé avant de la réaliser.
Des événements de ce type, répétés dans les mêmes conditions, peuvent donner des résultats différents et cette inconstance est attribuée au hasard.
Un exemple d'expérience aléatoire consiste à lancer un dé non biaisé (dé qui a une distribution de masse homogène) vers le haut. En cas de chute, il n'est pas possible de prédire avec certitude laquelle des 6 faces sera tournée vers le haut.
Formule de probabilité
Dans un phénomène aléatoire, les chances qu'un événement se produise sont également probables.
Par conséquent, nous pouvons trouver la probabilité qu'un résultat donné se produise en divisant le nombre d'événements favorables et le nombre total de résultats possibles :
Étant:
Pennsylvanie): probabilité d'occurrence d'un événement A
à): nombre de cas qui nous intéressent (événement A)
n (Ω): nombre total de cas possibles
Exemples
1) Si nous lançons un dé parfait, quelle est la probabilité qu'un nombre inférieur à 3 soit obtenu ?
Solution
En tant que dé parfait, les 6 faces ont une chance égale de tomber face visible. Appliquons donc la formule de probabilité.
Pour cela, il faut considérer que nous avons 6 cas possibles (1, 2, 3, 4, 5, 6) et que l'événement "sur un nombre inférieur à 3" a 2 possibilités, c'est-à-dire sur le nombre 1 ou le chiffre 2. Donc nous avons:
2) Le jeu de cartes se compose de 52 cartes réparties en quatre couleurs (cœurs, trèfle, carreau et pique) avec 13 cartes de chaque couleur. Ainsi, si vous tirez une carte au hasard, quelle est la probabilité qu'une carte sorte de la couleur du club ?
Solution
Lorsqu'on tire une carte au hasard, on ne peut pas prédire quelle sera cette carte. Il s'agit donc d'une expérience aléatoire.
Dans ce cas, le nombre de cartons correspond au nombre de cas possibles et nous avons 13 clubs qui représentent le nombre d'événements favorables.
En substituant ces valeurs dans la formule de probabilité, on a :
Espace d'échantillon
représenté par la lettre Ω, l'espace échantillon correspond à l'ensemble des résultats possibles obtenus à partir d'une expérience aléatoire.
Par exemple, lorsqu'on prend au hasard une carte d'un jeu, l'espace échantillon correspond aux 52 cartes qui composent ce jeu.
De même, l'espace échantillon lorsque l'on lance un dé une fois, ce sont les six faces qui le composent :
= {1, 2, 3, 4, 5 et 6}.
Types d'événements
L'événement est n'importe quel sous-ensemble de l'espace échantillon d'une expérience aléatoire.
Lorsqu'un événement est exactement le même que son espace échantillon, il est appelé un bon événement. Inversement, lorsque l'événement est vide, il est appelé un événement impossible.
Exemple
Imaginons que nous ayons une boîte avec des boules numérotées de 1 à 20 et que toutes les boules soient rouges.
L'événement "tirer une boule rouge" est un événement sûr, car toutes les boules de la boîte sont de cette couleur. L'événement "tirer un nombre supérieur à 30" est impossible, puisque le nombre le plus élevé dans la boîte est 20.
Analyse combinatoire
Dans de nombreuses situations, il est possible de découvrir directement le nombre d'événements possibles et favorables dans une expérience aléatoire.
Cependant, dans certains problèmes, vous devrez calculer ces valeurs. Dans ce cas, on peut utiliser les formules de permutation, d'arrangement et de combinaison selon la situation proposée dans la question.
Pour en savoir plus sur le sujet, rendez-vous sur :
- Analyse combinatoire
- Exercices d'analyse combinatoire
- Principe fondamental du comptage
- Permutation
Exemple
(EsPCEx - 2012) La probabilité d'obtenir un nombre divisible par 2 dans le choix aléatoire d'une des permutations des chiffres 1, 2, 3, 4, 5 est
Solution
Dans ce cas, nous devons connaître le nombre d'événements possibles, c'est-à-dire combien de nombres différents nous obtenons en changeant l'ordre des 5 chiffres donnés (n=5).
Comme, dans ce cas, l'ordre des chiffres forme des nombres différents, nous utiliserons la formule de permutation. Par conséquent, nous avons :
Événements possibles:
Par conséquent, avec 5 chiffres, nous pouvons trouver 120 nombres différents.
Pour calculer la probabilité, il faut encore trouver le nombre d'événements favorables qui, dans ce cas, est de trouver un nombre divisible par 2, ce qui se produira lorsque le dernier chiffre du nombre est 2 ou 4.
Considérant que pour la dernière position nous n'avons que ces deux possibilités, alors nous devrons échanger les 4 autres positions qui composent le nombre, comme ceci :
Événements favorables:
La probabilité sera trouvée en faisant :
Lire aussi:
- Le triangle de Pascal
- Nombres complexes
- Mathématiques à Enem
Exercice résolu
1) PUC/RJ - 2013
Si a = 2n + 1 avec n {1, 2, 3, 4}, alors la probabilité du nombre le être une paire est
à 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0
Comme nous substituons chaque valeur possible de n dans l'expression pour le nombre a, nous remarquons que le résultat sera toujours un nombre impair.
Par conséquent, "être un nombre pair" est un événement impossible. Dans ce cas, la probabilité est égale à zéro.
Alternative: e) 0
2) EPU - 2013
Dans un groupe d'un cours d'espagnol, trois personnes ont l'intention de faire un programme d'échange au Chili, et sept en Espagne. Parmi ces dix personnes, deux ont été choisies pour l'entretien qui permettra de tirer des bourses d'études à l'étranger. La probabilité que ces deux personnes choisies appartiennent au groupe de ceux qui ont l'intention de faire un échange au Chili est
Cherchons d'abord le nombre de situations possibles. Le choix des 2 personnes ne dépendant pas de la commande, nous utiliserons la formule combinée pour déterminer le nombre de cas possibles, soit :
Il y a donc 45 façons de choisir 2 personnes parmi un groupe de 10 personnes.
Maintenant, il faut calculer le nombre d'événements favorables, c'est-à-dire que les deux personnes tirées au sort veulent faire l'échange au Chili. Encore une fois, nous utiliserons la formule de combinaison :
Il y a donc 3 manières de choisir 2 personnes sur les 3 qui souhaitent étudier au Chili.
Avec les valeurs trouvées, nous pouvons calculer la probabilité demandée en substituant dans la formule :
Alternative: b)
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