Une équation du second degré est l'équation entière sous la forme hache2 + bx + c = 0, avec a, b et c des nombres réels et a 0. Pour résoudre une équation de ce type, vous pouvez utiliser différentes méthodes.
Utilisez les résolutions commentées des exercices ci-dessous pour dissiper tous vos doutes. Assurez-vous également de tester vos connaissances avec les questions du concours résolues.
Exercices commentés
Exercice 1
L'âge de ma mère multiplié par mon âge est égal à 525. Si à ma naissance ma mère avait 20 ans, quel âge ai-je ?
Solution
Considérant mon âge égal à X, on peut alors considérer que l'âge de ma mère est égal à x + 20. Comment connaissons-nous la valeur du produit de nos âges, alors :
X. (x + 20) = 525
Application aux propriétés distributives de la multiplication :
X2 + 20 x - 525 = 0
On arrive alors à une équation complète du 2e degré, avec a = 1, b = 20 et c = - 525.
Pour calculer les racines de l'équation, c'est-à-dire les valeurs de x où l'équation est égale à zéro, utilisons la formule de Bhaskara.
Tout d'abord, nous devons calculer la valeur de :
Pour calculer les racines, on utilise :
En substituant les valeurs dans la formule ci-dessus, nous trouverons les racines de l'équation, comme ceci :
Comme mon âge ne peut pas être négatif, nous méprisons la valeur -35. Donc le résultat est 15 ans.
Exercice 2
Un carré, représenté sur la figure ci-dessous, a une forme rectangulaire et son aire est égale à 1 350 m2. Sachant que sa largeur correspond au 3/2 de sa hauteur, déterminez les dimensions du carré.
Solution
Considérant que sa hauteur est égale à X, la largeur sera alors égale à 3/2x. L'aire d'un rectangle se calcule en multipliant sa base par la valeur de la hauteur. Dans ce cas, nous avons :
On arrive à une équation du 2ème degré incomplète, avec a = 3/2, b = 0 et c = - 1350, on peut calculer ce type d'équation en isolant le x et en calculant la valeur de la racine carrée.
Comme la valeur de x représente la mesure de la hauteur, nous ne tiendrons pas compte du -30. Ainsi, la hauteur du rectangle est égale à 30 m. Pour calculer la largeur, multiplions cette valeur par 3/2 :
Par conséquent, la largeur du carré est égale à 45 mètres et sa hauteur est égale à 30 mètres.
Exercice 3
Donc x = 1 est la racine de l'équation 2ax2 + (2e2 - un - 4) x - (2 + un2) = 0, les valeurs de a doivent être :
a) 3 et 2
b) - 1 et 1
c) 2 et - 3
d) 0 et 2
e) - 3 et - 2
Solution
Pour trouver la valeur de a, remplaçons d'abord x par 1. De cette façon, l'équation ressemblera à ceci:
2.a.12 + (2e2 - à - 4). 1 - 2 - un2 = 0
2e + 2e2 - à - 4 - 2 - à2 = 0
le2 + à - 6 = 0
Maintenant, nous devons calculer la racine de l'équation complète du 2ème degré, pour cela nous utiliserons la formule de Bhaskara.
Par conséquent, la bonne alternative est la lettre C.
Questions sur le concours
1) Epcar - 2017
Considérons, dans, l'équation (m+2) x2 - 2mx + (m - 1) = 0 dans la variable x, où m est un nombre réel autre que - 2.
Passez en revue les affirmations ci-dessous et évaluez-les comme V (VRAI) ou F (FAUX).
( ) Pour tout m > 2, l'équation a un ensemble de solutions vide.
( ) Il existe deux valeurs réelles de m pour que l'équation admette des racines égales.
( ) Dans l'équation, si ∆ >0, alors m ne peut prendre que des valeurs positives.
La séquence correcte est
a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F
Regardons chacun des énoncés :
Pour tout m > 2, l'équation a un ensemble de solutions vide
Puisque l'équation est du second degré en, elle n'aura pas de solution lorsque le delta est inférieur à zéro. En calculant cette valeur, on a :
Donc la première affirmation est vraie.
Il existe deux valeurs réelles de m pour que l'équation admette des racines égales.
L'équation aura des racines réelles égales lorsque Δ=0, c'est-à-dire :
- 4m + 8 =0
m=2
Par conséquent, la déclaration est fausse car il n'y a qu'une seule valeur de m où les racines sont réelles et égales.
Dans l'équation, si ∆ >0, alors m ne peut prendre que des valeurs positives.
Pour Δ>0, on a :
Puisqu'il y a dans l'ensemble des nombres réels infinis des nombres négatifs inférieurs à 2, l'énoncé est également faux.
Variante d: V-F-F
2) Coltec - UFMG - 2017
Laura doit résoudre une équation du 2e degré dans la « maison » mais se rend compte qu'en copiant du tableau au cahier, elle a oublié de copier le coefficient de x. Pour résoudre l'équation, il l'a enregistré comme suit: 4x2 + hache + 9 = 0. Comme elle savait que l'équation n'avait qu'une solution, et que celle-ci était positive, elle a pu déterminer la valeur de a, qui est
a) – 13
b) – 12
c) 12
d) 13
Lorsqu'une équation du 2e degré a une solution unique, le delta, de la formule de Bhaskara, est égal à zéro. Donc pour trouver la valeur de le, il suffit de calculer le delta, égalant sa valeur à zéro.
Donc si a = 12 ou a = - 12 l'équation n'aura qu'une seule racine. Cependant, nous devons encore vérifier laquelle des valeurs de le le résultat sera une racine positive.
Pour cela, trouvons la racine, pour les valeurs de Le.
Donc pour a = -12 l'équation n'aura qu'une racine et positive.
Variante b: -12
3) Enem - 2016
Un tunnel doit être scellé avec une couverture en béton. La section transversale du tunnel et la couverture en béton ont les contours d'un arc de parabole et les mêmes dimensions. Pour déterminer le coût des travaux, un ingénieur doit calculer l'aire sous l'arc parabolique en question. En utilisant l'axe horizontal au niveau du sol et l'axe de symétrie de la parabole comme axe vertical, il a obtenu l'équation suivante pour la parabole :
y = 9 - x2, où x et y sont mesurés en mètres.
On sait que l'aire sous une parabole comme celle-ci est égale aux 2/3 de l'aire du rectangle dont les dimensions sont respectivement égales à la base et à la hauteur de l'entrée du tunnel.
Quelle est l'aire de la face avant de la couverture en béton, en mètres carrés ?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54
Pour résoudre ce problème, nous devons trouver les mesures de la base et de la hauteur de l'entrée du tunnel, comme le problème nous dit que l'aire du front est égale aux 2/3 de l'aire du rectangle avec ces dimensions.
Ces valeurs seront trouvées à partir de l'équation du 2ème degré donnée. La parabole de cette équation a la concavité tournée vers le bas, parce que le coefficient le est négatif. Voici un aperçu de cette parabole.
A partir du graphique, nous pouvons voir que la mesure de la base du tunnel sera trouvée en calculant les racines de l'équation. Déjà sa hauteur, sera égale à la mesure du sommet.
Pour calculer les racines, on observe que l'équation 9 - x2 est incomplet, nous pouvons donc trouver ses racines en égalant l'équation à zéro et en isolant le x :
Par conséquent, la mesure de la base du tunnel sera égale à 6 m, c'est-à-dire la distance entre les deux racines (-3 et 3).
En regardant le graphique, nous voyons que le point du sommet correspond à la valeur sur l'axe des y que x est égal à zéro, nous avons donc :
Maintenant que nous connaissons les mesures de la base et de la hauteur du tunnel, nous pouvons calculer sa superficie :
Variante c: 36
4) Céfet - RJ - 2014
Pour quelle valeur de "a" l'équation (x - 2).(2ax - 3) + (x - 2).(- ax + 1) = 0 a-t-elle deux racines et égales ?
à 1
b) 0
c) 1
d) 2
Pour qu'une équation du 2e degré ait deux racines égales, il faut que =0, c'est-à-dire b2-4ac=0. Avant de calculer le delta, nous devons écrire l'équation sous la forme ax2 + bx + c = 0.
On peut commencer par appliquer la propriété distributive. Cependant, nous notons que (x - 2 ) est répété dans les deux termes, mettons-le donc en évidence :
(x - 2) (2ax -3 - ha + 1) = 0
(x - 2) (x -2) = 0
Maintenant, en distribuant le produit, nous avons :
hache2 - 2x - 2x + 4 = 0
En calculant le et égal à zéro, on trouve :
Ainsi, lorsque a = 1, l'équation aura deux racines égales.
Variante c: 1
Pour en savoir plus, voir aussi:
- Équation du second degré
- Équation du premier degré
- Fonction quadratique
- Fonction quadratique - Exercices
- Fonction linéaire
- Exercices sur les fonctions connexes
