Une réflexion élémentaire sur la position d'un point par rapport à un cercle est que ce point peut prendre trois positions différentes. Mais comment vérifier concrètement la position d'un point sur le plan cartésien par rapport à un cercle dont on connaît l'équation? Pour cela nous devrons calculer la distance du point au centre du cercle ou remplacer ce point dans l'équation du cercle et analyser le résultat obtenu.
Avant de commencer cette analyse algébrique, regardons les trois positions des points :
• Le point est à l'intérieur du cercle. Cela se produit uniquement si la distance entre le point et le centre est inférieure au rayon.
• Le point appartient au cercle. Cela se produit si la distance de ce point au centre est égale au rayon.
• Le point est à l'extérieur du cercle. Cela se produit lorsque la distance entre le point et le centre est supérieure au rayon.
Par conséquent, lorsque nous devons vérifier la position relative d'un point par rapport à un cercle, nous devons calculer le distance entre le centre et le point, ou substituer les coordonnées du point dans l'équation du cercle et vérifier la valeur numérique obtenu.
Exemple:
Lorsque l'équation de circonférence est sous sa forme réduite, vous n'avez pas besoin d'utiliser la formule de distance, car le l'équation réduite vous donne la distance de ces deux points, il suffit de résoudre le côté gauche de l'égalité et de comparer le résultat au rayon (4²).
• Point H (2,3) ;
Comme la distance du point H était égale au rayon, on peut dire que ce point appartient au cercle.
• Point I (3.3) ;
Dans ce cas, nous équivalons à 16 en espérant que le résultat soit 16 pour que le point appartienne au cercle, mais lors de l'exécution des calculs, nous obtenons une valeur supérieure au rayon, donc le point est en dehors du circonférence.
• Point J (3,2) ;
Mais comment analyserions-nous le point si l'équation de la circonférence venait sous sa forme générale? La procédure est très similaire, cependant dans l'équation générale nous n'avons pas d'expression algébrique égale au rayon du cercle. Regardons le même cercle que l'exemple précédent, mais écrit sous sa forme générale.
Notez que si nous prenons des points qui appartiennent au cercle, l'équation ci-dessus devrait être égale à zéro. Sinon, le point n'appartient pas au cercle. Regardons les mêmes points de l'exemple précédent, mais en utilisant l'équation générale :
• Point H (2,3) ;
Comme la distance du point H était égale au rayon, on peut dire que ce point appartient au cercle.
• Point I (3.3) ;
Dans ce cas, nous équivalons à 16 en espérant que le résultat soit 16 pour que le point appartienne au cercle, mais lors de l'exécution des calculs, nous obtenons une valeur supérieure au rayon, donc le point est en dehors du circonférence.
• Point J (3,2) ;
Par Gabriel Alessandro de Oliveira
Diplômé en Mathématiques
Équipe scolaire du Brésil
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-entre-ponto-circunferencia.htm