Les calculs liés aux zones de figures planes régulières sont assez faciles à effectuer en raison des formules mathématiques existantes. Dans le cas de figures telles que triangle, carré, rectangle, trapèzes, losanges, parallélogrammes, entre autres, il suffit de relier les formules à la figure et d'effectuer les calculs nécessaires. Certaines situations nécessitent des outils auxiliaires pour obtenir des zones, telles que des régions sous une courbe. Pour de telles situations, nous utilisons des calculs faisant appel aux notions d'intégration développées par Isaac Newton et Leibniz.
Nous pouvons représenter algébriquement une courbe dans le plan par une loi de formation appelée fonction. L'intégrale d'une fonction a été créée afin de déterminer les aires sous une courbe dans le plan cartésien. Les calculs impliquant des intégrales ont plusieurs applications en mathématiques et en physique. Notez l'illustration suivante :
Pour calculer l'aire de la région délimitée (S) on utilise la fonction intégrée f sur la variable x, entre la plage a et b :
L'idée principale de cette expression est de diviser la zone délimitée en rectangles infinis, car intuitivement l'intégrale de f (x) correspond à la somme des rectangles de hauteur f (x) et de base dx, où le produit de f (x) par dx correspond à l'aire de chacun rectangle. La somme des aires infinitésimales donnera la surface totale sous la courbe.
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Lors de la résolution de l'intégrale entre les limites a et b, nous aurons comme résultat l'expression suivante :
Exemple
Déterminer l'aire de la région ci-dessous délimitée par la parabole définie par l'expression f(x) = – x² + 4, dans la plage [-2,2].
Détermination de la zone grâce à l'intégration de fonctions f (x) = –x² + 4.
Pour cela, nous devons nous souvenir de la technique d'intégration suivante :
Par conséquent, la zone de la région délimitée par la fonction f(x) = –x² + 4, allant de -2 à 2, il est de 10,6 unités de surface.
par Mark Noah
Diplômé en Mathématiques
Équipe scolaire du Brésil
Les rôles - Math - École du Brésil
Souhaitez-vous référencer ce texte dans un travail scolaire ou académique? Voir:
SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Aire sous une courbe"; École du Brésil. Disponible en: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-sob-uma-curva.htm. Consulté le 29 juin 2021.
