Exercices sur les propriétés des puissances


LES potentialisation est une opération mathématique utilisée pour exprimer le produit d'un nombre par lui-même. Cette opération a des propriétés importantes, qui permettent de simplifier et de résoudre de nombreux calculs.

Le principal propriétés de potentialisation elles sont:

→ Potentiation avec un exposant égal à zéro :

\dpi{120} \mathbf{a^0 = 1, a\neq 0}

→ Potentiation avec un exposant égal à 1 :

\dpi{120} \mathbf{a^1 = a}

→ Potentiation des nombres négatifs avec \dpi{120} \mathrm{a>0} et \dpi{120} \mathrm{m} un nombre pair:

\dpi{120} \mathbf{(-a)^m = a^m}

→ Potentiation des nombres négatifs avec \dpi{120} \mathrm{a>0} et \dpi{120} \mathrm{m} un nombre impair:

\dpi{120} \mathbf{(-a)^m = -(a^m) }

→ Puissance d'une puissance :

\dpi{120} \mathbf{(a^m)^n = a^{m\cdot n}}

→ Puissance avec exposant négatif :

\mathbf{a^{-m} = \bigg(\frac{1}{a}\bigg)^m = \frac{1}{a^m}}

→ Multiplication de puissance :

\dpi{120} \mathbf{a^m\cdot a^n = a^{m+n}}

→ Division de puissance :

\dpi{120} \mathbf{a^m: a^n = a^{m-n}}

Pour en savoir plus, consultez un liste d'exercices sur les propriétés de puissance. Tous les problèmes résolus afin que vous puissiez dissiper vos doutes.

Indice

  • Exercices sur les propriétés des puissances
  • Résolution de la question 1
  • Résolution de la question 2
  • Résolution de la question 3
  • Résolution de la question 4
  • Résolution de la question 5
  • Résolution de la question 6
  • Résolution de la question 7
  • Résolution de la question 8

Exercices sur les propriétés des puissances


Question 1. Calculez les puissances suivantes: \dpi{120} (-3)^2, \dpi{120} (-1)^9, \dpi{120} (-5)^3 et \dpi{120} (-2)^6.


Question 2. Calculez les puissances suivantes: \dpi{120} 4^2, \dpi{120} -4^2 et \dpi{120} (-4)^2.


Question 3. Calculer les puissances négatives des exposants: \dpi{120} 5^{-1}, \dpi{120} 8^{-2}, \dpi{120} (-3)^{-3} et \dpi{120} (-1)^{-8}.


Question 4. Calculez les puissances suivantes: \dpi{120} (4^2)^3, \dpi{120} (-2^3)^{-1}, \dpi{120} (3^2)^{-2} et \dpi{120} (5^{-1})^{-2}.


Question 5. Faire les multiplications entre puissances :

\dpi{120} 3^2\cdot 3^3
\dpi{120} 2^2\cdot 2^{-2}\cdot 2^{3}
\dpi{120} 3^{-1}\cdot 5^5\cdot 3^2\cdot 5^{-3}\cdot 5^1

Question 6. Faire les divisions entre les pouvoirs: \dpi{120} \frac{3^6}{3^4}, \dpi{120} \frac{2^5}{2^0} et \dpi{120} \frac{5^{-9}}{5^{-7}}.


Question 7. Calculez les puissances suivantes: \dpi{120} \left ( \frac{2}{3} \right )^2, \dpi{120} \left ( -\frac{2}{5} \right )^3, \dpi{120} \left ( \frac{5}{2} \right )^4.


Question 8. Calculer:

\dpi{120} \frac{2^3\cdot 3^{-2}\cdot 2^0\cdot 2^{-5}\cdot 3^1}{3^3\cdot 2^5\cdot 3 ^{-2}}

Résolution de la question 1

Un péché \dpi{120} (-3)^2 l'exposant est pair, la puissance sera positive :

\dpi{120} (-3)^2 = 3^2 = 9

Un péché \dpi{120} (-1)^9 l'exposant est impair, la puissance sera négative :

\dpi{120} (-1)^9 = -(1^9) = -1

Un péché \dpi{120} (-5)^3 l'exposant est impair, la puissance sera négative :

\dpi{120} (-5)^3 = -(5^3)= - 125
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Un péché \dpi{120} (-2)^6 l'exposant est pair, la puissance sera positive :

\dpi{120} (-2)^6= 2^6 = 64

Résolution de la question 2

Dans les trois cas, la puissance sera la même, à l'exception du signe, qui peut être positif ou négatif :

\dpi{120} 4^2 = 16
\dpi{120} -4^2 =- (4^2) = -16
\dpi{120} (-4)^2 = 4^2 = 16

Résolution de la question 3

la puissance \dpi{120} 5^{-1} est l'inverse de la puissance \dpi{120} 5^{1}:

\dpi{120} 5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}

la puissance \dpi{120} 8^{-2} est l'inverse de la puissance \dpi{120} 8^{2}:

\dpi{120} 8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}

la puissance \dpi{120} (-3)^{-3} est l'inverse de la puissance \dpi{120} (-3)^{3}:

\dpi{120} (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-(3^3)} = -\frac{1}{ 27}

la puissance \dpi{120} (-1)^{-8} est l'inverse de la puissance \dpi{120} (-1)^{8}:

\dpi{120} (-1)^{-8} = \frac{1}{(-1)^8} = \frac{1}{1^8} = 1

Résolution de la question 4

Dans chaque cas, on peut multiplier les exposants puis calculer la puissance :

\dpi{120} (4^2)^3 = 4^{2\cdot 3} = 4^6 = 4096
\dpi{120} (-2^3)^{-1} =(-2)^{3\cdot -1} = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2) ^3} = -\frac{1}{8}
\dpi{120} (3^2)^{-2} = 3^{2\cdot -2} = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{ 81}
\dpi{120} (5^{-1})^{-2} = 5^{-1\cdot -2} = 5^2 = 25

Résolution de la question 5

Dans chaque cas, on additionne les exposants des puissances d'une même base :

\dpi{120} 3^2\cdot 3^3 = 3^{2 + 3} = 3^5= 243
\dpi{120} 2^2\cdot 2^{-2}\cdot 2^{3} = 2^{2 -2 +3} = 2^3 = 8
\dpi{120} 3^{-1}\cdot 5^5\cdot 3^2\cdot 5^{-3}\cdot 5^1 = 3^{-1 +2}\cdot 5^{5- 3+1}= 3^1\cdot 5^3 = 3\cdot 125 = 375

Résolution de la question 6

Dans chaque cas, on soustrait les exposants des puissances d'une même base :

\dpi{120} \frac{3^6}{3^4}= 3^{6 -4} = 3^2 =9
\dpi{120} \frac{2^5}{2^0} = 2^{5-0} =2^5 = 32
\dpi{120} \frac{5^{-9}}{5^{-7}} = 5^{-9 -(-7)} = 5^{-9+7} = 5^{-2 }= \frac{1}{25}

Résolution de la question 7

Dans chaque cas, nous élevons les deux termes à l'exposant :

\dpi{120} \left ( \frac{2}{3} \right )^2 = \frac{2^2}{3^3} = \frac{4}{27}
\dpi{120} \gauche ( -\frac{2}{5} \right )^3 = -\frac{2^3}{5^3} = -\frac{8}{125}
\dpi{120} \left ( \frac{5}{2} \right )^4 = \frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16}

Résolution de la question 8

\dpi{120} \small \frac{2^3\cdot 3^{-2}\cdot 2^0\cdot 2^{-5}\cdot 3^1}{3^3\cdot 2^5\ cdot 3^{-2}} = \frac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{3^{1}\cdot 2^5} = 2^{-2-5}\cdot 3^{-1-1} = 2^{-7}\cdot 3^{-2} = \frac{1}{2^7\cdot 3^2} = \frac{1}{1152}

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