Exercices sur les propriétés des puissances

LES potentialisation est une opération mathématique utilisée pour exprimer le produit d'un nombre par lui-même. Cette opération a des propriétés importantes, qui permettent de simplifier et de résoudre de nombreux calculs.

Le principal propriétés de potentialisation elles sont:

→ Potentiation avec un exposant égal à zéro :

$\dpi{120} \mathbf{a^0 = 1, a\neq 0}$

→ Potentiation avec un exposant égal à 1 :

$\dpi{120} \mathbf{a^1 = a}$

→ Potentiation des nombres négatifs avec $\dpi{120} \mathrm{a>0}$ et $\dpi{120} \mathrm{m}$ un nombre pair:

$\dpi{120} \mathbf{(-a)^m = a^m}$

→ Potentiation des nombres négatifs avec $\dpi{120} \mathrm{a>0}$ et $\dpi{120} \mathrm{m}$ un nombre impair:

$\dpi{120} \mathbf{(-a)^m = -(a^m) }$

→ Puissance d'une puissance :

$\dpi{120} \mathbf{(a^m)^n = a^{m\cdot n}}$

→ Puissance avec exposant négatif :

$\mathbf{a^{-m} = \bigg(\frac{1}{a}\bigg)^m = \frac{1}{a^m}}$

→ Multiplication de puissance :

$\dpi{120} \mathbf{a^m\cdot a^n = a^{m+n}}$

→ Division de puissance :

$\dpi{120} \mathbf{a^m: a^n = a^{m-n}}$

Pour en savoir plus, consultez un liste d'exercices sur les propriétés de puissance. Tous les problèmes résolus afin que vous puissiez dissiper vos doutes.

Indice

Exercices sur les propriétés des puissances
Résolution de la question 1
Résolution de la question 2
Résolution de la question 3
Résolution de la question 4
Résolution de la question 5
Résolution de la question 6
Résolution de la question 7
Résolution de la question 8

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Exercices sur les propriétés des puissances

Question 1. Calculez les puissances suivantes: $\dpi{120} (-3)^2$ , $\dpi{120} (-1)^9$ , $\dpi{120} (-5)^3$ et $\dpi{120} (-2)^6$ .

Question 2. Calculez les puissances suivantes: $\dpi{120} 4^2$ , $\dpi{120} -4^2$ et $\dpi{120} (-4)^2$ .

Question 3. Calculer les puissances négatives des exposants: $\dpi{120} 5^{-1}$ , $\dpi{120} 8^{-2}$ , $\dpi{120} (-3)^{-3}$ et $\dpi{120} (-1)^{-8}$ .

Question 4. Calculez les puissances suivantes: $\dpi{120} (4^2)^3$ , $\dpi{120} (-2^3)^{-1}$ , $\dpi{120} (3^2)^{-2}$ et $\dpi{120} (5^{-1})^{-2}$ .

Question 5. Faire les multiplications entre puissances :

$\dpi{120} 3^2\cdot 3^3$

$\dpi{120} 2^2\cdot 2^{-2}\cdot 2^{3}$

$\dpi{120} 3^{-1}\cdot 5^5\cdot 3^2\cdot 5^{-3}\cdot 5^1$

Question 6. Faire les divisions entre les pouvoirs: $\dpi{120} \frac{3^6}{3^4}$ , $\dpi{120} \frac{2^5}{2^0}$ et $\dpi{120} \frac{5^{-9}}{5^{-7}}$ .

Question 7. Calculez les puissances suivantes: $\dpi{120} \left ( \frac{2}{3} \right )^2$ , $\dpi{120} \left ( -\frac{2}{5} \right )^3$ , $\dpi{120} \left ( \frac{5}{2} \right )^4$ .

Question 8. Calculer:

$\dpi{120} \frac{2^3\cdot 3^{-2}\cdot 2^0\cdot 2^{-5}\cdot 3^1}{3^3\cdot 2^5\cdot 3 ^{-2}}$

Résolution de la question 1

Un péché $\dpi{120} (-3)^2$ l'exposant est pair, la puissance sera positive :

$\dpi{120} (-3)^2 = 3^2 = 9$

Un péché $\dpi{120} (-1)^9$ l'exposant est impair, la puissance sera négative :

$\dpi{120} (-1)^9 = -(1^9) = -1$

Un péché $\dpi{120} (-5)^3$ l'exposant est impair, la puissance sera négative :

$\dpi{120} (-5)^3 = -(5^3)= - 125$

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Un péché $\dpi{120} (-2)^6$ l'exposant est pair, la puissance sera positive :

$\dpi{120} (-2)^6= 2^6 = 64$

Résolution de la question 2

Dans les trois cas, la puissance sera la même, à l'exception du signe, qui peut être positif ou négatif :

$\dpi{120} 4^2 = 16$

$\dpi{120} -4^2 =- (4^2) = -16$

$\dpi{120} (-4)^2 = 4^2 = 16$

Résolution de la question 3

la puissance $\dpi{120} 5^{-1}$ est l'inverse de la puissance $\dpi{120} 5^{1}$ :

$\dpi{120} 5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}$

la puissance $\dpi{120} 8^{-2}$ est l'inverse de la puissance $\dpi{120} 8^{2}$ :

$\dpi{120} 8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}$

la puissance $\dpi{120} (-3)^{-3}$ est l'inverse de la puissance $\dpi{120} (-3)^{3}$ :

$\dpi{120} (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-(3^3)} = -\frac{1}{ 27}$

la puissance $\dpi{120} (-1)^{-8}$ est l'inverse de la puissance $\dpi{120} (-1)^{8}$ :

$\dpi{120} (-1)^{-8} = \frac{1}{(-1)^8} = \frac{1}{1^8} = 1$

Résolution de la question 4

Dans chaque cas, on peut multiplier les exposants puis calculer la puissance :

$\dpi{120} (4^2)^3 = 4^{2\cdot 3} = 4^6 = 4096$

$\dpi{120} (-2^3)^{-1} =(-2)^{3\cdot -1} = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2) ^3} = -\frac{1}{8}$

$\dpi{120} (3^2)^{-2} = 3^{2\cdot -2} = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{ 81}$

$\dpi{120} (5^{-1})^{-2} = 5^{-1\cdot -2} = 5^2 = 25$

Résolution de la question 5

Dans chaque cas, on additionne les exposants des puissances d'une même base :

$\dpi{120} 3^2\cdot 3^3 = 3^{2 + 3} = 3^5= 243$

$\dpi{120} 2^2\cdot 2^{-2}\cdot 2^{3} = 2^{2 -2 +3} = 2^3 = 8$

$\dpi{120} 3^{-1}\cdot 5^5\cdot 3^2\cdot 5^{-3}\cdot 5^1 = 3^{-1 +2}\cdot 5^{5- 3+1}= 3^1\cdot 5^3 = 3\cdot 125 = 375$

Résolution de la question 6

Dans chaque cas, on soustrait les exposants des puissances d'une même base :

$\dpi{120} \frac{3^6}{3^4}= 3^{6 -4} = 3^2 =9$

$\dpi{120} \frac{2^5}{2^0} = 2^{5-0} =2^5 = 32$

$\dpi{120} \frac{5^{-9}}{5^{-7}} = 5^{-9 -(-7)} = 5^{-9+7} = 5^{-2 }= \frac{1}{25}$

Résolution de la question 7

Dans chaque cas, nous élevons les deux termes à l'exposant :

$\dpi{120} \left ( \frac{2}{3} \right )^2 = \frac{2^2}{3^3} = \frac{4}{27}$

$\dpi{120} \gauche ( -\frac{2}{5} \right )^3 = -\frac{2^3}{5^3} = -\frac{8}{125}$

$\dpi{120} \left ( \frac{5}{2} \right )^4 = \frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16}$

Résolution de la question 8

$\dpi{120} \small \frac{2^3\cdot 3^{-2}\cdot 2^0\cdot 2^{-5}\cdot 3^1}{3^3\cdot 2^5\ cdot 3^{-2}} = \frac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{3^{1}\cdot 2^5} = 2^{-2-5}\cdot 3^{-1-1} = 2^{-7}\cdot 3^{-2} = \frac{1}{2^7\cdot 3^2} = \frac{1}{1152}$

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