Exercices sur la condition d'alignement en trois points


Points lignés ou points colinéaires ce sont des points qui appartiennent à la même droite.

Étant donné trois points \dpi{120} \mathrm{A}(x_1,y_1), \dpi{120} \mathrm{B}(x_2,y_2) et \dpi{120} \mathrm{C}(x_3,y_3), la condition d'alignement entre eux est que les coordonnées soient proportionnelles :

\dpi{120} \boldsymbol{\frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}}

Voir un liste d'exercices sur la condition d'alignement en trois points, le tout en pleine résolution.

Indice

  • Exercices sur la condition d'alignement en trois points
  • Résolution de la question 1
  • Résolution de la question 2
  • Résolution de la question 3
  • Résolution de la question 4
  • Résolution de la question 5

Exercices sur la condition d'alignement en trois points


Question 1. Vérifiez que les points (-4, -3), (-1, 1) et (2, 5) sont alignés.


Question 2. Vérifiez que les points (-4, 5), (-3, 2) et (-2, -2) sont alignés.


Question 3. Vérifiez si les points (-5, 3), (-3, 1) et (1, -4) appartiennent à la même droite.


Question 4. Déterminer la valeur de a pour que les points (6, 4), (3, 2) et (a, -2) soient colinéaires.


Question 5. Déterminez la valeur de b pour les points (1, 4), (3, 1) et (5, b) qui sont les sommets de tout triangle.


Résolution de la question 1

Points: (-4, -3), (-1, 1) et (2, 5).

On calcule le premier côté de l'égalité :

\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{-1 - (-4)}{2 - (-1)} = \frac{3}{3} = 1

On calcule le second membre de l'égalité :

\dpi{120} \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2} = \frac{1 - (-3)}{5 - 1} = \frac{4}{4}=1

Puisque les résultats sont égaux (1 = 1), alors les trois points sont alignés.

Résolution de la question 2

Points: (-4, 5), (-3, 2) et (-2, -2).

On calcule le premier côté de l'égalité :

\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{-3 - (-4)}{-2-(-3)} = \frac{1}{1} = 1

On calcule le second membre de l'égalité :

\dpi{120} \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2} = \frac{2 - 5}{-2-2} = \frac{-3}{-4}= \frac{3}{4 }

Comment les résultats sont différents \bigg (1\neq \frac{3}{4}\bigg), donc les trois points ne sont pas alignés.

Résolution de la question 3

Points: (-5, 3), (-3, 1) et (1, -4).

On calcule le premier côté de l'égalité :

\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{-3 - (-5)}{1 - (-3)} = \frac{2}{4} = \frac{ 1}{2}

On calcule le second membre de l'égalité :

\dpi{120} \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2} = \frac{1 - 3}{-4 - 1} = \frac{-2}{-5}= \frac{2}{5 }
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Comment les résultats sont différents \bigg(\frac{1}{2}\neq \frac{2}{5}\bigg), donc les trois points ne sont pas alignés, ils n'appartiennent donc pas à la même ligne.

Résolution de la question 4

Points: (6, 4), (3, 2) et (a, -2)

Les points colinéaires sont des points alignés. Donc, nous devons obtenir la valeur de a pour que :

\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

En remplaçant les valeurs de coordonnées, nous devons :

\dpi{120} \mathrm{\frac{3-6}{a-3} = \frac{2-4}{-2-2}}
\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\frac{-3}{a-3} = \frac{-2}{-4}}

Application de la propriété fondamentale des proportions (multiplication croisée) :

\dpi{120} \mathrm{-2(a-3)=12}
\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{-2a + 6=12}
\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{-2a = 6}
\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a = -\frac{6}{2}}
\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a = -3}

Résolution de la question 5

Points: (1, 4), (3, 1) et (5, b).

Les sommets d'un triangle sont des points non alignés. Obtenons donc la valeur de b sur laquelle les points sont alignés et toute autre valeur différente entraînera des points non alignés.

\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2}= \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

En remplaçant les valeurs de coordonnées, nous devons :

\dpi{120} \mathrm{\frac{3-1}{5-3} = \frac{1-4}{b-1}}
\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\frac{2}{2} = \frac{-3}{b-1}}

Croix multiplicatrice :

\dpi{120} \mathrm{2.(b-1)=-6}
\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{2b -2=-6}
\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{2b =-4}
\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b =-\frac{4}{2}}
\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b =-2}

Ainsi, pour toute valeur de b différente de -2, nous avons les sommets d'un triangle. Par exemple, (1, 4), (3, 1) et (5, 3) forment un triangle.

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