Exercices sur la condition d'alignement en trois points

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Points lignés ou points colinéaires ce sont des points qui appartiennent à la même droite.

Étant donné trois points $\dpi{120} \mathrm{A}(x_1,y_1)$ , $\dpi{120} \mathrm{B}(x_2,y_2)$ et $\dpi{120} \mathrm{C}(x_3,y_3)$ , la condition d'alignement entre eux est que les coordonnées soient proportionnelles :

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}}$

Voir un liste d'exercices sur la condition d'alignement en trois points, le tout en pleine résolution.

Indice

Exercices sur la condition d'alignement en trois points
Résolution de la question 1
Résolution de la question 2
Résolution de la question 3
Résolution de la question 4
Résolution de la question 5

Exercices sur la condition d'alignement en trois points

Question 1. Vérifiez que les points (-4, -3), (-1, 1) et (2, 5) sont alignés.

Question 2. Vérifiez que les points (-4, 5), (-3, 2) et (-2, -2) sont alignés.

Question 3. Vérifiez si les points (-5, 3), (-3, 1) et (1, -4) appartiennent à la même droite.

Question 4. Déterminer la valeur de a pour que les points (6, 4), (3, 2) et (a, -2) soient colinéaires.

Question 5. Déterminez la valeur de b pour les points (1, 4), (3, 1) et (5, b) qui sont les sommets de tout triangle.

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Résolution de la question 1

Points: (-4, -3), (-1, 1) et (2, 5).

On calcule le premier côté de l'égalité :

$\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{-1 - (-4)}{2 - (-1)} = \frac{3}{3} = 1$

On calcule le second membre de l'égalité :

$\dpi{120} \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2} = \frac{1 - (-3)}{5 - 1} = \frac{4}{4}=1$

Puisque les résultats sont égaux (1 = 1), alors les trois points sont alignés.

Résolution de la question 2

Points: (-4, 5), (-3, 2) et (-2, -2).

On calcule le premier côté de l'égalité :

$\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{-3 - (-4)}{-2-(-3)} = \frac{1}{1} = 1$

On calcule le second membre de l'égalité :

$\dpi{120} \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2} = \frac{2 - 5}{-2-2} = \frac{-3}{-4}= \frac{3}{4 }$

Comment les résultats sont différents $\bigg (1\neq \frac{3}{4}\bigg)$ , donc les trois points ne sont pas alignés.

Résolution de la question 3

Points: (-5, 3), (-3, 1) et (1, -4).

On calcule le premier côté de l'égalité :

$\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{-3 - (-5)}{1 - (-3)} = \frac{2}{4} = \frac{ 1}{2}$

On calcule le second membre de l'égalité :

$\dpi{120} \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2} = \frac{1 - 3}{-4 - 1} = \frac{-2}{-5}= \frac{2}{5 }$

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Comment les résultats sont différents $\bigg(\frac{1}{2}\neq \frac{2}{5}\bigg)$ , donc les trois points ne sont pas alignés, ils n'appartiennent donc pas à la même ligne.

Résolution de la question 4

Points: (6, 4), (3, 2) et (a, -2)

Les points colinéaires sont des points alignés. Donc, nous devons obtenir la valeur de a pour que :

$\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$

En remplaçant les valeurs de coordonnées, nous devons :

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3-6}{a-3} = \frac{2-4}{-2-2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\frac{-3}{a-3} = \frac{-2}{-4}}$

Application de la propriété fondamentale des proportions (multiplication croisée) :

$\dpi{120} \mathrm{-2(a-3)=12}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{-2a + 6=12}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{-2a = 6}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a = -\frac{6}{2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a = -3}$

Résolution de la question 5

Points: (1, 4), (3, 1) et (5, b).

Les sommets d'un triangle sont des points non alignés. Obtenons donc la valeur de b sur laquelle les points sont alignés et toute autre valeur différente entraînera des points non alignés.

$\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2}= \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$