À l'école primaire, les fonctions sont des formules mathématiques qui associent chaque nombre d'un ensemble numérique (le domaine) à un seul nombre appartenant à un autre ensemble (le contre-domaine). Lorsque cette formule est un équation du second degré, nous en avons un fonction lycée.
Les fonctions peuvent être représentées par des figures géométriques dont les définitions coïncident avec leurs formules mathématiques. C'est le cas de la droite, qui représente les fonctions du premier degré, et la parabole, qui représente les fonctions du second degré. Ces figures géométriques sont appelées graphique.
L'idée centrale de représentation de fonction par un graphe
Pour représenter graphiquement une fonction, il faut évaluer quel élément du contre-domaine est lié à chaque élément du domaine et les marquer, un à un, dans un plan cartésien. Lorsque tous ces points sont marqués, le résultat ne sera que le graphique d'une fonction.
Il est à noter que le fonctions du lycée, sont généralement définis dans un domaine égal à l'ensemble des nombres réels. Cet ensemble est infini et, par conséquent, il est impossible de marquer tous ses points sur un plan cartésien. Ainsi, l'alternative est d'esquisser un graphique qui peut représenter partiellement la fonction évaluée.
Rappelons tout d'abord que les fonctions du second degré prennent la forme suivante :
y = hache2 + bx + c
Par conséquent, nous présentons cinq étapes qui permettent de construire un graphe de fonction du second degré, exactement comme ceux exigés au lycée.
Étape 1 – Évaluation globale du poste
Il existe des indicateurs qui vous aident à savoir si la bonne voie est prise lors de la construction du graphique de fonction de lycée.
I - Le coefficient "a" d'un fonction lycée indique sa concavité, c'est-à-dire que si a > 0, la parabole sera vers le haut et aura un point minimum. Si a < 0, la parabole sera vers le bas et aura un point maximum.
II) Le premier point A du graphique d'une parabole il peut être facilement obtenu en regardant simplement la valeur du coefficient "c". Ainsi, A = (0, c). Cela se produit lorsque x = 0. Regarder:
y = hache2 + bx + c
y = a·02 + b·0 + c
y = c
Étape 2 - Trouvez les coordonnées du sommet
le sommet d'un parabole est son point maximum (si a < 0) ou minimum (si a > 0). Il peut être trouvé en substituant les valeurs des coefficients « a », « b » et « c » dans les formules :
Xv = -B
2e
ouiv = –∆
4e
Ainsi, le sommet V est donné par les valeurs numériques de xv Andyv et cela peut s'écrire comme ceci: V = (xvaav).
Étape 3 – Points aléatoires sur le graphique
Il est toujours bon d'indiquer quelques points aléatoires dont les valeurs attribuées à la variable x sont supérieures et inférieures à xv. Cela vous donnera des points avant et après le sommet et facilitera le dessin du graphique.
Étape 4 – Si possible, déterminez les racines
Lorsqu'elles existent, les racines peuvent (et doivent) être incluses dans la conception du graphique d'une fonction du second degré. Pour les trouver, définissez y = 0 pour obtenir une équation quadratique qui peut être résolue par la formule de Bhaskara. souviens-toi que résoudre une équation quadratique revient à trouver ses racines.
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LES Formule Bhaskara cela dépend de la formule du discriminant. Sont-ils:
x = – b ±
2e
= b2 – 4ac
Étape 5 – Marquez tous les points obtenus sur le plan cartésien et reliez-les entre eux, afin de construire une parabole
Rappelez-vous que le plan cartésien est composé de deux droites numériques perpendiculaires. Cela signifie qu'en plus de contenir tous les nombres réels, ces lignes forment un angle de 90°.
Exemple de plan cartésien et exemple de parabole.
Exemple
Tracer la fonction du second degré y = 2x2 – 6x.
Solution: Notez que les coefficients de cette parabole sont a = 2, b = – 6 et c = 0. De cette façon, par le étape 1, on peut dire ça:
1 – La parabole sera en haut, car 2 = a > 0.
2 – L'un des points de cette parabole, représenté par la lettre A, est donné par le coefficient c. Bientôt, A = (0,0).
par étape 2, on observe que le sommet de cette parabole est :
Xv = -B
2e
Xv = – (– 6)
2·2
Xv = 6
4
Xv = 1,5
ouiv = – ∆
4e
ouiv = – (B2 – 4·a·c)
4e
ouiv = – ((– 6)2 – 4·2·0)
4·2
ouiv = – (36)
8
ouiv = – 36
8
ouiv = – 4,5
Par conséquent, les coordonnées du sommet sont: V = (1,5, – 4,5)
En utilisant le étape 3, on ne choisira que deux valeurs pour la variable x, une supérieure et une inférieure à xv.
Si x = 1,
y = 2x2 – 6x
y = 2·12 – 6·1
y = 2·1 - 6
y = 2 - 6
y = – 4
Si x = 2,
y = 2x2 – 6x
y = 2·22 – 6·2
y = 2,4 – 12
y = 8 - 12
y = – 4
Par conséquent, les deux points obtenus sont B = (1, – 4) et C = (2, – 4)
La fourrure étape 4, ce qui n'a pas besoin d'être fait si la fonction n'a pas de racines, on obtient les résultats suivants :
= b2 – 4ac
∆ = (– 6)2 – 4·2·0
∆ = (– 6)2
∆ = 36
x = – b ±
2e
x = – (– 6) ± √36
2·2
x = 6 ± 6
4
x' = 12
4
x' = 3
x'' = 6 – 6
4
x'' = 0
Par conséquent, les points obtenus par les racines, en considérant que, pour obtenir x = 0 et x = 3, il a fallu poser y = 0, sont: A = (0, 0) et D = (3, 0).
Avec cela, nous obtenons six points pour tracer le graphique de la fonction y = 2x2 – 6x. Maintenant, remplissez simplement le étape 5 pour le construire définitivement.
Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques
