LES L'équation du 2e degré est caractérisée pour un polynôme de degré 2, c'est-à-dire un polynôme de type ax2+bx+c, où le, B et ç elles sont nombres réels. Lors de la résolution d'une équation de degré 2, nous nous intéressons à trouver des valeurs pour l'inconnue. X qui rend la valeur de l'expression égale à 0, qui sont appelées racines, c'est-à-dire ax2 + bx + c = 0.
Lire aussi: Différences entre fonction et équation
Types d'équations du 2e degré
L'équation du 2e degré peut être représenté par ax²+bx+c=0, où les coefficients le, B et ç sont des nombres réels, avec le ≠ 0.
→ Exemples
a) 2x2 +4x – 6 = 0 → a = 2; b =4 et c = – 6
b) x2 – 5x + 2 = 0 → a =1; b= – 5 et c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 et c = -1
L'équation du 2e degré est classée comme Achevée lorsque tous les coefficients sont différents de 0, c'est-à-dire le ≠ 0, B 0 et ç ≠ 0.
L'équation du 2e degré est classée comme incomplet lorsque la valeur des coefficients B ou alors ç sont égaux à 0, c'est-à-dire b = 0 ou c = 0.
→ Exemples
a) 2x2 – 4 = 0 → a = 2; b = 0 et c = – 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = – 1; b = 3 et c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b=0 et c=0
La tête haute: la valeur du coefficient le il n'est jamais égal à 0, si cela arrive, l'équation n'est plus du 2ème degré.
Comment résoudre les équations du 2ème degré ?
La solution d'une équation du 2e degré se produit lorsque le les racines sont trouvées, c'est-à-dire les valeurs attribuées à X. Ces valeurs de X doit rendre l'égalité vraie, c'est-à-dire en substituant la valeur de X dans l'expression, le résultat doit être égal à 0.
→ Exemple
Considérant l'équation x2 – 1 = 0 nous avons que x’ = 1 et x’’ = – 1 sont des solutions de l’équation, car en substituant ces valeurs dans l’expression, nous avons une vraie égalité. Voir:
X2 – 1 = 0
(1)2 – 1 = 0 et (–1)2 – 1 = 0
Pour trouver la solution d'un équation, il est nécessaire d'analyser si l'équation est complète et incomplète et de sélectionner la méthode qui sera utilisée.
Méthode de résolution des équations de type hache²+ c = 0
La méthode pour déterminer la solution des équations incomplètes qui ont B=0consiste à isoler l'inconnu X, Donc:
→ Exemple
Trouver les racines de l'équation 3x2 – 27 = 0.
Si vous souhaitez en savoir plus sur cette méthode, rendez-vous sur: Equation incomplète du 2e degré avec coefficient nul b.
Méthode de résolution des équations de type hache2 + bx = 0
La méthode pour déterminer les solutions possibles d'une équation avec ç =0, consiste à utiliser le affacturage des preuves. Voir:
hache2 + bx = 0
x·(ax + b) = 0
En regardant la dernière égalité, on remarque qu'il y a une multiplication et que pour que le résultat soit 0, il faut qu'au moins un des facteurs soit égal à 0.
x·(ax + b) = 0
x = 0 ou alors hache + b = 0
Ainsi, la solution de l'équation est donnée par :
→ Exemple
Déterminer la solution de l'équation 5x2 – 45x = 0
Si vous souhaitez en savoir plus sur cette méthode, rendez-vous sur: équation incomplète du 2e degré avec coefficient nul c.
Méthode de résolution des équations complètes
La méthode dite Méthode Bhaskara ou alors Formule Bhaskara fait remarquer que les racines d'une équation du 2e degré de type ax2 + bx + c = 0 est donné par la relation suivante :
→ Exemple
Déterminer la solution de l'équation X2 – x – 12 = 0.
Notez que les coefficients de l'équation sont: un = 1; B= – 1 et ç = – 12. En substituant ces valeurs dans la formule de Bhaskara, on a :
Le delta (Δ) est nommé d'après discriminant et remarquez qu'il est à l'intérieur d'un racine carrée et, comme on le sait, compte tenu des nombres réels, il n'est pas possible d'extraire la racine carrée d'un nombre négatif.
Connaissant la valeur du discriminant, nous pouvons faire quelques déclarations sur la solution de l'équation du 2ème degré :
→ discriminant positif (Δ > 0): deux solutions à l'équation;
→ discriminant égal à zéro (Δ = 0) : les solutions de l'équation sont répétées ;
→ discriminant négatif (Δ < 0) : n'admet pas de vraie solution.
Systèmes d'équations du deuxième degré
Lorsque nous considérons simultanément deux ou plusieurs équations, nous avons un système d'équations. La solution d'un système à 2 variables est la ensemble de paires ordonnées qui satisfait simultanément toutes les équations impliquées.
→ Exemple
Considérez le système :
Avec les valeurs: x’ = 2, x’’ = – 2 et y’ = 2, y’’ = – 2 nous pouvons assembler des paires ordonnées qui satisfont les équations du système simultanément. Voir: (2, 2), (2, – 2), (– 2, 2), (– 2, – 2).
Rappelons qu'une paire ordonnée s'écrit sous la forme (x, y).
Les méthodes pour trouver la solution d'un système d'équations sont similaires à celle de systèmes linéaires.
→ Exemple
Considérez le système :
A partir de l'équation x – y = 0, isolons l'inconnue X, Donc:
x - y = 0
x = y
Maintenant, nous devons substituer la valeur isolée dans l'autre équation, comme ceci :
X2 – x –12 = 0
oui2 – y –12 = 0
En utilisant la méthode de Bhaskara, nous devons :
Puisque x = y, nous aurons x’ = y’ et x’’ = y’’. C'est à dire:
x' = 4
x'' = -3
Ainsi, les paires ordonnées sont des solutions du système (4, 4) et (– 3,– 3).
Lire la suite: Système d'équations du 1er et du 2e degré
exercices résolus
question 1 – (ESPM -SP) Les solutions de l'équation ci-dessous sont deux nombres
a) cousines.
b) positif.
c) négatif.
d) paires.
e) impair.
Solution
On sait que les dénominateurs d'une fraction ne peuvent pas être égaux à zéro, donc x ≠1 et x≠3. Et puisque nous avons une égalité de fractions, nous pouvons multiplier par croisement, en obtenant :
(x+3) · (x+3) = (x – 1) · (3x +1)
X2 + 6x +9 = 3x2 – 2x – 1
X2 – 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) – 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 – 8x – 10 = 0
En divisant les deux membres de l'équation par 2, on a :
X2 – 4x – 5 = 0
En utilisant la formule de Bhaskara, il s'ensuit que :
Notez que les racines de l'équation sont des nombres impairs.
Alternative e.
question 2 – (UFPI) Un aviculteur a découvert qu'après avoir placé (n+2) oiseaux dans chacune des n volières disponibles, il ne restait qu'un seul oiseau. Le nombre total d'oiseaux, pour toute valeur naturelle de n, est toujours
a) un nombre pair.
b) un nombre impair.
c) un carré parfait.
d) un nombre divisible par 3.
e) un nombre premier.
Solution
Le nombre d'oiseaux peut être trouvé en multipliant le nombre de volières par le nombre d'oiseaux placés dans chacune. d'entre eux, par l'énoncé de l'exercice après avoir fait ce processus, il reste encore un oiseau, nous pouvons écrire tout cela dans ce qui suit manière:
n·(n+2) +1
En réalisant la distributivité, nous obtiendrons :
non2 + 2n +1
Et en factorisant ce polynôme, il s'ensuit que :
(n+1)2
Ainsi, le nombre total d'oiseaux est toujours un carré parfait pour tout nombre naturel n.
Variante C
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm
