Trigonométrie est un mot d'origine grecque qui désigne la mesure de trois angles. Les études dans ce domaine des mathématiques se concentrent sur Triangles, qui sont des polygones qui ont trois côtés et, par conséquent, trois angles. Au début, le trigonométrie il s'agit d'étudier certaines propriétés et relations des triangles rectangles pour relier plus tard les mesures des côtés des triangles avec les mesures des angles.
Ces propriétés et relations sont étendues à tous les triangles grâce à des théorèmes appelés loi sur les péchés et loi du cosinus. Plus tard, certains de ces résultats sont observés dans des triangles dont les côtés sont des segments notables d'un cercle, appelé « cercle trigonométrique ».
LES trigonométrie propose une grande nouveauté. Avant cela, il n'était possible de considérer que des calculs et des propriétés faisant intervenir exclusivement des côtés ou exclusivement des angles d'un triangle ou des relations fondamentales entre ces éléments. A son arrivée, il est possible de relier directement les mesures des côtés d'un triangle à la mesure d'un de ses angles. Il est à noter que les relations entre les côtés et les segments notables au sein d'un triangle constituent également le
trigonométrie.Avant d'approfondir le concept de trigonométrie, Il est important de savoir quels sont les éléments les plus importants dans un triangle rectangle. Ces éléments sont présentés ci-dessous :
Éléments d'un triangle rectangle
Chaque triangle rectangle peut être subdivisé en deux autres triangles rectangles, comme le montre la figure ci-dessous, en traçant la hauteur "h" par rapport à la base "a".
La hauteur de ce triangle rectangle forme deux angles de 90° avec sa base
En considérant le triangle ABD, rectangle en B, il est possible d'observer les éléments suivants :
1 – Les côtés AB et BD sont appelés côtés et leurs mesures sont respectivement c et b ;
2 – Le côté AD s'appelle l'hypoténuse et sa mesure est a. Ce côté sera toujours opposé à l'angle de 90° ;
3 – BE est la hauteur du triangle ABD par rapport à la base AD et sa mesure est h. (en rappelant que la hauteur forme toujours un angle de 90° avec la base par rapport à elle) ;
4 – AE est la projection orthogonale de la jambe AB sur l'hypoténuse. Sa mesure est m ;
5 – ED est la projection orthogonale de la jambe BD sur l'hypoténuse. Sa mesure est n.
Ensuite, nous présentons et discutons de certaines propriétés vues en trigonométrie, basées sur les éléments du triangle rectangle exposés ci-dessus.
Relations métriques dans le triangle rectangle
Ce sont des égalités qui relient les côtés, la hauteur et les projections orthogonales d'un triangle rectangle :
1) c2 = moyenne
2) b·c = a·h
3) h2 =m·n
4) b2 = non
5) le2 = b2 + c2 (Théorème de Pythagore)
Rapports trigonométriques ou rapports dans le triangle rectangle
Ces égalités relient les rapports entre les côtés d'un triangle rectangle à l'un de ses angles aigus. Pour ce faire, il faut fixer l'un des deux angles et respecter, dans le triangle rectangle, les définitions de côté opposé et de côté adjacent :
Triangle rectangle, mettant en évidence l'angle α
BD est le jambe opposée à l'angle ;
AB est le jambe adjacente à l'angle .
Ce sont les prérequis pour définir le rapports trigonométriques. Sont-ils:
→ sinus de α
péché = Cathetus en face α
Hypoténuse
→ Cosinus de α
cos = Catheto adjacent à α
Hypoténuse
→ Tangente de α
tg = Cathetus en face α
Catheto adjacent à α
Ces raisons s'appliquent à tout triangle rectangle qui a un angle aigu égal à. Le résultat de ces divisions est toujours le même, quelle que soit la longueur du côté du triangle, comme deux triangles qui ont deux angles égaux, en raison de la ressemblance triangulaire angle-angle, ont des côtés proportionnels. Il s'ensuit que le rapport entre les côtés est égal.
cercle trigonométrique
Appelé aussi cycle trigonométrique ou cercle trigonométrique (noms plus corrects mais moins courants), il s'agit d'un cercle orienté de rayon 1. Sur cette circonférence, un triangle rectangle, dont l'angle α coïncide avec l'origine, de sorte que la hauteur de ce triangle va de l'axe des abscisses au bord du cercle.
Cette hauteur coïncide avec la valeur de sinus, car c'est le côté opposé à l'angle. La mesure qui va du point où la hauteur rencontre l'axe des abscisses à l'origine coïncide avec le côté adjacent à l'angle, c'est-à-dire avec la valeur de cosinus.
Ces coïncidences se produisent parce que l'hypoténuse est toujours 1, car c'est le rayon du cercle. Notez ces propriétés dans l'image ci-dessous :
Cercle de rayon 1, sur lequel un triangle rectangle est placé pour évaluer ses propriétés
Quel que soit le triangle rectangle construit sur ce cercle, le côté qui coïncide avec une partie de l'axe des abscisses mesure exactement la valeur du cosinus de et l'autre côté mesure exactement le sinus de α.
Fonctions trigonométriques
En utilisant le cercle trigonométrique, il est possible de définir fonctions trigonométriques qui relient chaque élément de l'ensemble des nombres réels à un seul élément également de l'ensemble des nombres réels. Cependant, ces nombres sont exprimés en radians, qui est une unité de mesure en fonction de utilisé car, après 360° dans le cercle trigonométrique, le comptage des degrés et, par conséquent, des éléments de domaine et de contre-domaine d'une fonction basée sur celui-ci peut être relancé à partir de zéro.
relations fondamentales
Les relations fondamentales de la trigonométrie sont :
1) Relation fondamentale 1
Sen2+ cos2α = 1
2) tangente de α
tg = péché
car
3) Cotangente de α, qui est l'inverse de la tangente de
cotg = car
péché
4) sécante de α, qui est l'inverse du cosinus de α
s α = 1
car
5) Cosécante de, qui est l'inverse du sinus de α
cossec = 1
péché
6) Relation découlant 1
tg2+ 1 = secondes2α
7) Relation 2
cotg2+ 1 = cossec2α
8) Relation récurrente 3
cotg = 1
tg
Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm
