Ensembles numériques: qu'est-ce qu'ils sont et caractéristiques

L'étude sur ensembles numériques constitue l'un des principaux domaines des mathématiques, car ils sont très importants pour le développement théorique du domaine et ont plusieurs applications pratiques. Les ensembles numériques comprennent dans l'étude :

• nombres naturels;
• entiers ;
• nombres rationnels;
• nombres irrationnels;
• nombres réels; et
• nombres complexes.

Lire la suite: Nombres premiers - nombres qui n'ont que 1 et eux-mêmes comme diviseurs

Ensemble de nombres naturels

Le développement des premières civilisations a entraîné l'amélioration de l'agriculture et du commerce et, par conséquent, la utiliser des nombres pour représenter des quantités. Le premier set est venu naturellement, d'où son nom. L'ensemble nommé naturel est utilisé pour représenter des quantités, il est désigné par le symbole et est écrit sous forme de séquence. Voir:

O ensemble de nombres naturaest é infini et fermé pour les opérations de une addition et multiplie, c'est-à-dire que chaque fois que nous additionnons ou multiplions deux nombres naturels, la réponse est toujours naturelle. Cependant, pour l'opération de soustraction et

division, l'ensemble n'est pas fermé. Voir:

5 – 6 = –1

3 ÷ 2 = 0,5

Notez que les nombres –1 et 0,5 ils n'appartiennent pas à l'ensemble des naturels, et c'est la justification de la création et de l'étude de nouveaux ensembles de nombres.

Aussi, en plaçant un astérisque (*) dans le symbole de l'ensemble naturel, il faut supprimer le nombre zéro de la liste, voir :

ensemble de nombres entiers

L'ensemble de nombres entiers est venu avec le besoin d'effectuer l'opération de soustraction pas de restrictions. Comme nous l'avons vu, lorsqu'un plus petit nombre est soustrait d'un plus grand, la réponse n'appartient pas au groupe des naturels.

L'ensemble des nombres entiers est également représenté par une séquence numérique infinie et est noté par le symbole.

Comme dans l'ensemble des nombres naturels, en plaçant un astérisque dans le symbole ℤ, l'élément zéro est supprimé de l'ensemble, comme ceci :

Le symbole (–) qui accompagne un nombre indique qu'il est symétrique, donc le symétrique du nombre 4 est le nombre –4. Notez également que l'ensemble des nombres naturels est contenu dans l'ensemble des nombres entiers, c'est-à-dire que l'ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres entiers.

ℕ ⸦ ℤ

A lire aussi: Opérations avec des nombres entiers – qu'est-ce que c'est et comment calculer ?

ensemble de nombres rationnels

O ensemble de nombres rationnels é représenté par le symbole et n'est pas représenté par une séquence numérique. Cet ensemble est composé de tous les nombres pouvant être représentés sous forme de fraction. Nous représentons ses éléments comme suit :

Nous savons que tout nombre entier peut être représenté par un fraction, c'est-à-dire que l'ensemble des nombres entiers est contenu dans celui des nombres rationnels, donc, l'ensemble des entiers est un sous-ensemble des rationnels.

ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ

Les nombres qui ont une représentation infinie, tels que dîmes périodiques, ont également une représentation sous forme de fraction, ils sont donc également rationnels.

A lire aussi: Opérations avec des fractions - étape par étape comment les résoudre

Ensemble de nombres irrationnels

Comme nous l'avons vu, un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'une fraction. Il a également été dit que les nombres infinis et périodiques sont rationnels, cependant, il y a des nombres qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction et qui, par conséquent, n'appartiennent pas à l'ensemble des nombres rationnels.

Ces nombres non rationnels sont appelés irrationnel et ont comme principales caractéristiques la infini de la partie décimale et non-fréquence, c'est-à-dire qu'aucun nombre dans la partie décimale n'est répété. Voir quelques exemples de nombres irrationnels.

• Exemple 1

Les racines carrées des nombres qui ne sont pas des carrés parfaits.

• Exemple 2

Constantes provenant de raisons spéciales comme le nombre d'or, le nombre d'Euler ou Pi.

Ensemble de nombres réels

O ensemble de nombres réels est représenté par le symbole et est formé par le unitéde l'ensemble des nombres rationnels avec l'ensemble des nombres irrationnels. Rappelez-vous que l'ensemble des rationnels est l'union des ensembles naturels et entiers.

Quand on range les nombres réels sur une ligne, on a que le nombre zéro est l'origine de la ligne, à droite de zéro seront les nombres positifs, et à gauche, les nombres négatifs.

Comme cet axe est réel, on peut dire qu'entre deux nombres il y a des nombres infinis et aussi que cet axe est infini à la fois dans le sens positif quand à sens négatif.

Ensemble de nombres complexes

O ensemble de nombres complexes C'est le dernier et elle est survenue pour la même raison que l'ensemble des entiers, c'est-à-dire que c'est une opération dont le développement seulement avec l'ensemble des réels n'est pas possible.

En résolvant l'équation suivante, voyez qu'elle n'a pas de solution, ne connaissant que les nombres réels.

X² + 1 = 0

X² = –1

Notez que nous devons trouver un nombre qui, lorsque éleverréO au carré, donne un nombre négatif. Nous savons que tout nombre au carré est toujours positif, par conséquent, ce calcul n'a pas de solution réelle.

Ainsi ont été créés les nombres complexes, dans lesquels nous avons un nombre imaginaire désigné par je, qui a la valeur suivante :

Alors, sachez que le équation qui auparavant n'avait pas de solution l'a maintenant. Vérifier:

Lire la suite: Propriétés impliquant des nombres complexes

intervalles réels

Dans certains cas, nous n'utiliserons pas tous les axes réels, c'est-à-dire que nous en utiliserons des parties qui seront appelées pauses. Ces intervalles sont sous-ensembles de l'ensemble des nombres réels. Ensuite, nous établirons quelques notations pour ces sous-ensembles.

• Gamme fermée - sans inclure les extrêmes

Un intervalle est fermé lorsqu'il a ses deux extrêmes, c'est-à-dire le minimum et le maximum, et, dans ce cas, les extrêmes n'appartiennent pas à la gamme. Nous le noterons à l'aide d'une boule ouverte. Voir:

En rouge se trouvent les nombres qui appartiennent à cette plage, c'est-à-dire qu'il s'agit de nombres plus grand que a et plus petit que b. Algébriquement, nous écrivons un tel intervalle comme suit :

le < X

Où le nombre x est tous les nombres réels qui sont dans cette plage. On peut aussi le représenter symboliquement. Voir:

]Le; B[ ou alors (Le; B)

• Portée fermée - y compris les extrêmes

Utilisons maintenant des boules fermées pour représenter que les extrêmes appartiennent à la gamme.

Nous collectons donc des nombres réels qui se situent entre a et b, en les incluant. On exprime algébriquement un tel intervalle par :

le Xb

En notation symbolique, on a :

[Le; B]

• Portée fermée - y compris l'un des extrêmes

Traitant toujours des intervalles fermés, nous avons maintenant le cas où un seul des extrêmes est inclus. Par conséquent, l'une des billes se fermera, indiquant que le numéro appartient à la plage, et l'autre non, indiquant que le numéro n'appartient pas à cette plage.

Algébriquement, nous représentons cette plage comme suit :

le X

Symboliquement on a :

[Le; B[ ou alors [Le; B)

• Gamme ouverte - aucune extrémité incluse

Une plage est ouverte lorsque n'a pas d'élément maximum ou minimum. Nous allons maintenant voir un cas de plage ouverte qui n'a qu'un élément maximum, qui n'est pas inclus dans la plage.

Voir que la gamme se compose de nombres réels inférieurs àB, et notez aussi que le nombre b n'appartenant pas à la gamme (boule ouverte), donc, algébriquement, on peut représenter l'intervalle par :

X

Symboliquement on peut le représenter par :

] – ∞; B[ ou alors (– ∞; B)

• Gamme ouverte - y compris l'extrême

Un autre exemple de plage ouverte est le cas où l'extrême est inclus. Ici, nous avons une plage dans laquelle l'élément minimum apparaît, voir:

Notez que tous les nombres réels sont supérieurs ou égaux au nombre a, nous pouvons donc écrire cette plage algébriquement par :

Xà

Symboliquement on a :

[Le; +∞[ ou alors [Le; +∞)

• gamme ouverte

Un autre cas de gamme ouverte est formé par nombres plus grands et plus petits que les nombres fixés sur la ligne réelle. Voir:

Notez que les nombres réels qui appartiennent à cette plage sont ceux inférieurs ou égaux au nombre a, ou ceux qui sont supérieurs au nombre b, nous devons donc :

X à ou alorsX > b

Symboliquement on a :

] – ∞; a] U ] b; + ∞[

ou alors

(– ∞; a] U(b; + ∞)

Les ensembles numériques sont classés selon leurs caractéristiques.

par Robson Luiz
Professeur de mathématiques

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm