LES proportion est défini comme le égalité entre deux les raisons, si cette égalité est vraie, alors on dit que les nombres qui ont été les raisons dans l'ordre donné sont proportionnels.
L'étude des proportions est essentielle au développement mathématique, car elles nous permettent listegrandeurs, résolvant ainsi les problèmes de notre vie quotidienne. Des exemples de proportions sont: l'échelle d'une carte, la vitesse moyenne d'un rover et la densité d'une solution.
Lire aussi: Problèmes impliquant des nombres fractionnaires
Qu'est-ce que la raison et la proportion ?
LES raison entre deux nombres est lequotiententre eux dans l'ordre dans lequel ils sont donnés. Soient a et b deux nombres rationnels, où b est différent de 0, le rapport entre a et b est donné par :
lorsque vous avez deux raisons et les deux sont être comparé pour une égalité, alors nous avons une proportion. Si l'égalité est vraie, les nombres seront proportionnels, sinon ils ne seront pas proportionnels.
Toi nombres rationnelsle, B, ç et ré ils sont proportionnels si et seulement si l'égalité suivante est vraie.
De manière équivalente, nous pouvons dire que l'égalité ne sera vraie que lorsque la multiplication croisée est vraie.
a · d = b · c |
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Propriétés des proportions
Considérons le rapport suivant entre les nombres le, B, ç et ré:
Les propriétés suivantes sont donc valides :
Propriété 1 – Le produit des moyennes est égal au produit des extrêmes (multiplication croisée).
Propriété 2 – La raison entre le somme (ou alors différence) des deux premiers termes et le premier terme est égal au rapport de la somme (ou de la différence) des deux derniers termes et du troisième terme.
A lire aussi: Propriétés des proportions – que sont-elles et comment les calculer ?
Comment calculer les proportions
Pour vérifier ou calculer si, en fait, les nombres sont proportionnels, appliquez simplement la première propriété, si l'égalité est vraie, alors les nombres sont proportionnels. Voir les exemples :
Exemple 1
Vérifiez que les nombres 15, 30, 45 et 90 sont proportionnels.
Il faut, dans cet ordre, assembler les rapports puis les multiplier par croisement.
Notez que l'égalité est vraie, donc les nombres forment, dans cet ordre, une proportion.
Exemple 2
Les nombres 2, 4, x et 32 sont connus pour être proportionnels. Déterminer la valeur de x.
Par hypothèse, on a que les nombres, dans l'ordre où ils ont été présentés, sont proportionnels, on peut donc égaliser les rapports entre eux et appliquer la propriété 1, voir :
Grandeurs directement et inversement proportionnelles
Grandeur, en maths, c'est tout ce qui est possible de mesurer ou de mesurer, par exemple, la quantité, la distance, la masse, le volume, etc. Les quantités peuvent être directement proportionnelles (GDP) ou inversement proportionnelles (GIP), voyons la différence entre elles :
Quantités directement proportionnelles
On dit que deux quantités ou plus sont directement proportionnelles si le rapport de les valeurs de la première quantité sont égales aux valeurs de la deuxième quantité, etc. Par exemple, la quantité de masse est proportionnelle à la Poids d'un objet, voir le tableau :
Masse (kg) |
Poids (N) |
30 |
300 |
60 |
600 |
80 |
800 |
Notez que le rapport entre les quantités est toujours le même :
La même chose se produira si nous réalisons le rapport entre les autres valeurs.
Une autre façon de savoir si deux quantités ou plus sont directement proportionnelles est de vérifier la croissance ou diminution des deux. Par exemple, si une quantité augmente, l'autre doit également augmenter si elles sont directement proportionnelles. Regardons l'exemple :
Dans le tableau masse x poids, voyez que plus la masse de l'objet (↑) est grande, plus son poids (↑) est grand, donc les quantités sont directement proportionnelles.
Exemple
Les nombres x, t et 2 sont directement proportionnels aux nombres 5, 6 et 10. Déterminer les valeurs de x et t.
Comme l'exemple nous a dit que les nombres sont directement proportionnels, donc le rapport entre eux est égal, comme ceci :
En multipliant chacune des égalités, on a :
5x = 5
x = 1
et
5t = 6
t = 6 5
t = 1,2
Par conséquent, x = 1 et t = 1,2.
Quantités inversement proportionnelles
Deux ou plusieurs quantités seront inversement proportionnelles si le rapport entre les valeurs de la première est égal à l'inverse du rapport des valeurs de la seconde. Nous pouvons l'interpréter d'une autre manière, si une quantité augmente (↑) et l'autre quantité diminue (↓), alors elles sont inversement proportionnelles. Voir l'exemple :
La vitesse et le temps sont inversement proportionnels.
Vitesse (km/h) |
Temps (heures) |
50 |
2 |
100 |
1 |
150 |
0 |
Notez que plus la vitesse d'un trajet donné est rapide (↑), plus la durée de ce trajet (↓) est courte. Voyez aussi que si l'on prend le rapport entre deux valeurs de la première quantité et l'inverse du rapport de deux valeurs de la deuxième quantité, l'égalité sera vraie.
Exemple
Divisez le nombre 120 en parties inversement proportionnelles aux nombres 4 et 6.
Puisque nous voulons diviser le nombre 120 en deux parties et que nous ne les connaissons pas, appelons-les le et 120 - un. Par définition d'inversement proportionnel, le rapport entre les premières valeurs est égal à l'inverse du rapport des deux dernières valeurs. Ainsi:
Comme l'autre partie est 120 - a, alors :
120 - le
120 – 72
48
Par conséquent, en divisant le nombre 120 en parties inversement proportionnelles aux nombres 4 et 6, nous obtenons 72 et 48.
Exercice résolu
Question 1 – (Fuvest) Dans le tableau suivant, y est inversement proportionnel au carré de x. Calculez les valeurs de p et m.
X |
oui |
1 |
2 |
2 |
0 |
m |
8 |
Résolution
Notez que l'énoncé indique que les valeurs de y sont inversement proportionnelles au carré de x, c'est-à-dire que le rapport des valeurs y sera égal à l'inverse des valeurs x au carré.
En utilisant la même logique, déterminons la valeur de m.
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
