LES analyse dimensionnelle est un outil qui permet la prédiction, l'inspection et l'adaptation des unités physiques utilisées pour résoudre des équations. En analyse dimensionnelle, nous appliquons les principes fondamentaux de algèbre afin de déterminer dans quelle unitédansmesure une certaine quantité doit être exprimée afin de garantir l'homogénéité entre les quantités.
Analyse dimensionnelle pas à pas
En utilisant l'analyse dimensionnelle, il est possible de prédire quelle sera l'unité de mesure d'une quantité physique liée à résolution d'un problème. Par conséquent, il est nécessaire que nous connaissions au moins la unitésfondamentaux de physique, répertorié dans le Système international d'unités (SI).
A partir des quantités fondamentales, telles que mètre, kilogramme, seconde et autres, nous pouvons écrire toutes les autres quantités dérivées. Le tableau ci-dessous montre certaines des unités SI les plus importantes - il est important de les connaître, vérifiez-les :
Grandeur |
Unité (symbole - nom) |
Longueur |
m - mètre |
Temps |
s - seconde |
Pâtes |
kg - kilogramme |
Température |
K - Kelvin |
Courant électrique |
A - Ampère |
Analyse dimensionnelle des formules
Apprenons à faire l'analyse dimensionnelle d'un formule simple, comme la vitesse moyenne. La vitesse moyenne est calculée comme le rapport du déplacement (ΔS) à l'intervalle de temps (Δt).
Connaissant les unités fondamentales du SI, il est possible d'identifier que le déplacement doit être mesuré en mètres (m), tandis que l'intervalle de temps doit être mesuré en secondes (s). Ainsi, l'unité de mesure de vitesse doit être donnée en mètres par seconde (m/s), voir la figure ci-dessous :
Voir aussi: Découvrez les exercices résolus sur le mouvement uniforme
Dans l'analyse dimensionnelle, effectuée précédemment, se rendre compte qu'il était nécessaire de connaître le unités de distance et de temps, afin que nous puissions prédire quelle devrait être l'unité de vitesse. De plus, puisque la formule indiquait que les quantités de distance et de temps étaient divisées l'une par l'autre, leurs unités étaient également divisées.
Certaines formules ou quantités peuvent être un peu plus laborieux pour déterminer leurs unités, consultez un exemple dans lequel il est nécessaire que nous connaissions, en plus des unités, les formules qui nous permettent de calculer les quantités qui leur sont liées. Voir ci-dessous l'exemple de la formule de pression, dans laquelle nous voulons déterminer quelle est l'unité de P :
Pour trouver l'unité dans laquelle le pression doit être écrit, selon le SI, il nous fallait d'abord connaître votre formule. Après cela, nous aurions besoin de savoir dans quelle unité la magnitude force est exprimé et au cas où nous ne le saurions pas, il faudrait connaître sa formule (F=ma), pour trouver son unité.
Après cela, il fallait se rappeler que les surfaces se mesurent en m². Avec ces unités en main, nous revenons à la formule et nous remplaçons chaque grandeur avec leurs unités respectives et on applique les règles de l'algèbre: on fait des divisions et des multiplications entre les unités pour les simplifier au maximum.
Une notion importante en analyse dimensionnelle est que certaines unités peuvent être écrites en ligne et cela est courant dans certains exercices lorsque la notation devient plus compacte. Observez l'exemple suivant, dans lequel nous montrons l'analyse dimensionnelle de la quantité d'accélération :
Effectuer l'analyse dimensionnelle du accélération, nous trouvons que son unité est le mètre par seconde au carré (m/s²), cependant, cette unité peut être écrite de manière compacte comme simplement Mme-2.
Voir aussi :tout sur l'accélération
Il est également possible qu'il soit nécessaire de déterminer une quantité plus physique. complexe, comme dans l'exemple que nous allons montrer ci-dessous. Dans celui-ci, nous déterminerons l'unité de mesure de la quantité appelée chaleur spécifique, largement utilisé dans les calculs calorimétriques, découvrez :
Dans l'analyse dimensionnelle présentée, il a été nécessaire de réarranger l'équation afin de trouver quelle serait l'expression de la chaleur spécifique ([c]). Une fois cela fait, nous continuons à changer les unités de chaque quantité physique jusqu'à ce que nous trouvions deux réponses différentes: en bleu, l'unité de chaleur spécifique pour le SI, et en rouge, l'unité habituelle de chaleur spécifique.
Il est possible qu'il soit également nécessaire de déterminer l'unité de mesure de certains grandeurfictif. Dans ce cas, nous élaborons un exemple d'une quantité Y, qui est donnée par le produit d'une longueur ([L]), d'une aire ([A]) et d'un intervalle de temps ([t]), divisé par une masse ( [m]).
Pour déterminer l'unité de mesure de cette quantité, selon le SI, il faut se rappeler que l'unité de longueur est le mètre (m), que l'unité de surface est le mètre carré (m²), que l'unité de temps est la seconde (s) et que l'unité de masse est le kilogramme (kg). La méthode utilisée pour découvrir l'unité de Y s'appelle le principe d'homogénéité, c'est-à-dire que le côté gauche de l'équation doit avoir la même unité que le côté droit.
Conversion d'unités à l'aide de l'analyse dimensionnelle
En utilisant l'analyse dimensionnelle et correspondance entre différents systèmes de mesure, il est possible de transformer des grandeurs dérivées telles que la vitesse, l'accélération, la force, etc. Les grandeurs dérivées sont composées de deux ou plusieurs grandeurs physiques fondamentales, et il est parfois nécessaire de les transformer en d'autres unités. L'exemple le plus courant de cette application de l'analyse dimensionnelle est la transformation de la vitesse mesurée en mètres par seconde en kilomètres par heure et vice versa.
La clé pour effectuer correctement cette conversion d'unité est toujours de multiplier l'unité par 1 d'une manière pratique: changer son unité de mesure sans changer sa « valeur ». Ainsi, malgré la recherche d'une mesure différente pour la quantité à convertir, son échelle aura été maintenue. Découvrez un exemple :
Dans la conversion présentée, nous devons identifier que 1 km est égal à 1000 m et que 1 h est égal à 3600 s. Après cela, nous multiplions la valeur de vitesse mesurée en kilomètres par heure, par 1, c'est-à-dire 1000 m divisés par 1 km et 1 h divisé par 3600 s. De cette façon, il était possible de changer d'unité et de savoir quel serait le module de cette vitesse dans l'unité de mètres par seconde.
Voir aussi : Tout sur les lois de Newton
Analyse dimensionnelle dans Enem
Il existe plusieurs problèmes Enem dans lesquels il est nécessaire d'utiliser l'analyse dimensionnelle pour le conversiondansunités correctement. Cependant, les questions d'Enem ne le rendront pas explicite la plupart du temps. Il faudra se rendre compte que les unités sont incohérentes, c'est-à-dire non homogènes.
Découvrez quelques exemples d'exercices Enem qui impliquent une analyse dimensionnelle :
Question 1) La carte sur le côté représente un quartier dans une certaine ville, dans laquelle les flèches indiquent la direction des mains de la circulation. On sait que ce quartier a été planifié et que chaque îlot représenté sur la figure est une parcelle carrée, d'un côté égal à 200 mètres. Sans tenir compte de la largeur des rues, quel serait le temps, en minutes, qu'un bus, à vitesse constante et égale à 40 km/h, partant du point X, mettrait pour atteindre le point Y ?
a) 25 minutes
b) 15 minutes
c) 2,5 minutes
d) 1,5 mn
e) 0,15 min
Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons la formule de la vitesse moyenne. Selon le communiqué, la vitesse du bus est de 40 km/h et nous voulons découvrir le temps nécessaire, dans minutes, de sorte qu'il quitte le point X et arrive au point Y, en respectant les directions de chaque chemin. Pour ce faire, il faudra déterminer la distance parcourue par le bus.
En analysant la direction des flèches, nous constatons que le bus doit se déplacer vers le sud, se déplaçant d'un bloc, puis il doit déplacez-vous vers l'ouest en marchant d'un bloc, puis déplacez-vous de deux autres blocs vers le nord, puis d'un bloc vers le Ouest. Comme chaque bloc fait 200 m de long, à la fin du parcours, le bus aura parcouru au total 1000 m. Faisons le calcul :
Pour résoudre l'exercice, nous transformons d'abord la vitesse du bus en kilomètres par minute. Nous avons ensuite trouvé son déplacement en kilomètres, en utilisant l'analyse dimensionnelle et en comparant les quantités. Enfin, nous appliquons les valeurs trouvées dans la formule de vitesse moyenne.
Voir aussi :Tout sur les mécaniques qui tombent dans Enem
Question 2) Bien que l'indice de masse corporelle (IMC) soit largement utilisé, il existe encore de nombreuses restrictions théoriques sur son utilisation et sur les plages normales recommandées. L'indice de poids réciproque (RIP), selon le modèle allométrique, a une meilleure base mathématiques, puisque la masse est une variable de dimensions cubiques et la hauteur est une variable de dimensions linéaire. Les formules qui déterminent ces indices sont :
Si une fille, avec 64 kg de masse, a un IMC égal à 25 kg/m2, il a donc un RIP égal à :
a) 0,4 cm/kg1/3
b) 2,5 cm/kg1/3
c) 8 cm/kg1/3
d) 20 cm/kg1/3
e) 40 cm/kg1/3
Pour commencer à résoudre cet exercice, nous devons effectuer l'analyse dimensionnelle des deux grandeurs, le BMI et le RIP :
Comme nous connaissons l'IMC et la masse de la fille, il est facile de trouver sa taille. Après cela, nous appliquons simplement ces valeurs dans la formule RIP, en transformant la taille de la fille en centimètres, afin de la calculer.
Voir aussi: Découvrez comment étudier la physique pour le test Enem
exercices résolus
Question 1) Déterminer la dimension de la grandeur physique X, définie par les dimensions indiquées ci-dessous, selon le Système international d'unités :
suis-²s¹kg-²
b) m²s¹kg-²
c) m²s¹kg-3
d) m²-kg-²
e) m²s¹kg-1
Modèle: La lettre B
Résolution:
Pour résoudre l'exercice, il faut se rappeler que L désigne la grandeur longueur, définie en mètres, T est utilisé pour désigner la quantité de temps, mesurée en secondes, et M est utilisé pour désigner la quantité de masse, mesurée en kilogrammes. De cette façon, il suffit de replacer ces grandeurs dans leurs dimensions respectives :
En écrivant cette unité en ligne, on aura le résultat suivant: m².s¹.kg-2.
Question 2) Déterminer quelle doit être l'unité de la constante électrostatique k0, selon la loi de Coulomb :
Où Q et q sont mesurés en C – Coulomb, d est la distance mesurée en m – mètres et F est la force électrique, mesurée en N – Newton. Donc, pour trouver l'unité de k0, il faut faire l'analyse dimensionnelle suivante :
Par conséquent, d'après l'analyse dimensionnelle effectuée, l'unité de mesure de la constante k0 est la Nm2.Ç-2.
Par moi Rafael Helerbrock
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/analise-dimensional.htm
