Algèbre c'est la branche des mathématiques qui généralise l'arithmétique. Cela signifie que les concepts et opérations de l'arithmétique (addition, soustraction, multiplication, division etc.) seront testés et leur efficacité sera prouvée pour tous les numéros appartenant à certains ensembles numérique.
L'opération « addition », par exemple, fonctionne-t-elle vraiment sur tous les nombres appartenant à l'ensemble des nombres naturels? Ou existe-t-il un très grand nombre naturel, proche de l'infini, qui se comporte différemment des autres lorsqu'il est additionné? La réponse à cette question est donnée par algèbre: Tout d'abord, l'ensemble des nombres naturels est défini et l'opération ajoute; alors il est prouvé que l'opération d'addition fonctionne pour tout nombre naturel.
nous études d'algèbre, les lettres sont utilisées pour représenter des nombres. Ces lettres peuvent représenter soit des nombres inconnus, soit n'importe quel nombre appartenant à un ensemble numérique. Si x est un nombre pair, par exemple, alors x peut être 2, 4, 6, 8, 10,... De cette façon, x est n'importe quel nombre appartenant à l'ensemble des nombres pairs et il est clair quel type de nombre x est: un multiple de 2.
Propriétés des opérations mathématiques
Sachant que tout nombre appartenant à un ensemble peut être représenté par une lettre, considérons les nombres x, y et z comme appartenant à l'ensemble des nombres. réel et les opérations une addition et multiplication représentés respectivement par « + » et « · ». Ainsi, les propriétés suivantes sont valides pour x, y et z :
1 - L'associativité
(x + y) + z = x + (y + z)
(x·y)·z = x·(y·z)
2 – Commutativité
x + y = y + x
x·y = y·x
3 – Existence d'un élément neutre (1 pour la multiplication et 0 pour l'addition)
x + 0 = x
x·1 = x
4 – Existerd'élément opposé (ou symétrique).
x + (–x) = 0
X· 1 = 1
X
5 – Répartition (également appelée propriété distributive de la multiplication sur l'addition)
x·(y + z) = x·y + x·z
Celles-ci cinq propriétés sont valables pour tous les nombres réels x, y et z, car ces lettres ont été utilisées pour représenter n'importe quel nombre réel. Ils sont également valables pour les opérations d'addition et de multiplication.
expressions algébriques
En mathématiques, expression est une séquence d'opérations mathématiques effectuées avec des nombres. Par exemple: 2 + 3 – 7 est une expression numérique. Lorsque cette expression implique des nombres inconnus (inconnus), elle est appelée expression algébrique. Une expression algébrique qui n'a qu'un seul terme s'appelle un monôme. Quelconque expression algébrique qui est le résultat de l'addition ou de la soustraction entre deux monômes est appelé un polynôme.
expressions algébriques, les monômes et les polynômes sont des exemples d'éléments appartenant à l'algèbre, car ils sont constitués d'opérations effectuées avec des nombres inconnus. N'oubliez pas qu'un nombre inconnu peut représenter n'importe quel nombre dans un ensemble de nombres.
Équations
Équations elles sont expressions algébriques qui ont une égalité. Ainsi, équation c'est un contenu de Mathématiques qui relie les nombres à des inconnues par une égalité.
La présence de l'inconnu est ce qui classe le équation comme expression algébrique. La présence d'égalité permet de trouver la solution d'une équation, c'est-à-dire la valeur numérique de l'inconnue.
Exemples
1) 2x + 4 = 0
2) 4x - 4 = 19 - 8x
3) 2x2 + 8x – 9 = 0
Les rôles
La définition formelle de la fonction est la suivante: Occupation c'est une règle qui relie chaque élément d'un ensemble à un seul élément d'un deuxième ensemble.
Cette règle est mathématiquement représentée par une expression algébrique qui a une égalité, mais qui relie l'inconnu à l'inconnu. C'est la différence entre fonction et équation: l'équation relie une inconnue à un nombre fixe; à Occupation, l'inconnu représente un ensemble numérique entier. Pour cette raison, dans les fonctions, les inconnues sont appelées variables, car elles peuvent prendre n'importe quelle valeur dans l'ensemble qu'elles représentent.
Comme il s'agit d'expressions algébriques, Occupation c'est aussi un contenu appartenant à l'algèbre, puisque les lettres représentent n'importe quel nombre appartenant à n'importe quel ensemble de nombres.
Exemples:
1) Considérons la fonction y = x2, où x est n'importe quel nombre réel.
Dans ce Occupation, la variable x peut prendre n'importe quelle valeur dans l'ensemble des nombres réels. Puisque la règle reliant les nombres représentés par x aux nombres représentés par y est une opération mathématique de base, donc y représente également des nombres réels. Le seul détail à ce sujet est que y ne peut pas représenter un nombre réel négatif dans cette fonction, puisque y est le résultat d'une puissance d'exposant de 2, qui aura toujours un résultat positif.
2) Considérons la fonction y = 2x, où x est un entier naturel.
Dans ce Occupation, la variable x peut prendre n'importe quelle valeur dans l'ensemble des nombres naturels. Ces nombres sont des entiers positifs, donc les valeurs que peut prendre y sont des nombres naturels multiples de 2. De cette façon, y est un représentant de l'ensemble des nombres pairs.
De l'algèbre classique à l'algèbre abstraite
Les concepts énumérés jusqu'à présent constituent le algèbre classique. Cette partie de l'algèbre est davantage liée aux ensembles de nombres naturels, entiers, rationnels, irrationnels, réels et complexes et est étudiée à la fois dans l'enseignement primaire et supérieur. L'autre partie de l'algèbre, dite abstraite, étudie ces mêmes structures, mais pour des ensembles quelconques.
Ainsi, étant donné n'importe quel ensemble, avec n'importe quels éléments (nombres ou non), il est possible de définir une opération "addition", une opération "multiplication" et vérifier l'existence ou non des propriétés de ces opérations, ainsi que la validité des "équations", "fonctions", "polynômes" etc.
Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-algebra.htm