Résoudre des équations est une activité quotidienne. Intuitivement, nous résolvons des équations dans notre vie quotidienne et nous ne nous en rendons même pas compte. En posant la question suivante: « A quelle heure dois-je me lever pour aller à l'école pour ne pas être en retard?" et nous obtenons la réponse, nous venons en fait de résoudre une équation où l'inconnue est la temps. Ces questions quotidiennes ont toujours incité les mathématiciens de tous les temps à rechercher des solutions et des méthodes de résolution d'équations.
La formule de Baskara est l'une des méthodes les plus connues pour résoudre une équation. C'est une « recette », un modèle mathématique qui fournit, presque instantanément, les racines d'une équation du 2e degré. Fait intéressant, il n'y a pas autant de formules pour résoudre des équations que vous pourriez le penser. Les équations du troisième et du quatrième degré sont très compliquées à résoudre, et il existe des formules de résolution pour les cas les plus simples de ces types d'équations.
Il est intéressant de savoir que le degré de l'équation détermine le nombre de racines qu'elle a. On sait qu'une équation du 2e degré a deux racines. Par conséquent, une équation du 3e degré aura trois racines et ainsi de suite. Voyons maintenant ce qui se passe avec certaines équations.
Exemple. Résoudre les équations :
a) x2 + 3x – 4 = 0
Solution: En appliquant la formule de Baskara pour résoudre une équation du 2e degré, on obtient :
On sait que a = 1, b= 3 et c = – 4. Ainsi,
Puisque nous résolvons une équation du 2e degré, nous avons deux racines.
b) x3 – 8 = 0
Solution: Dans ce cas, nous avons une équation du troisième degré incomplète avec une résolution simple. 
Solution: Dans ce cas, nous avons une équation incomplète du 4e degré, également appelée équation aux deux carrés. La solution de ce type d'équation est également simple. Voir:
l'équation x4 + 3x2 – 4 = 0 peut être réécrit comme suit :
(X2)2 + 3x2 – 4 =0
faire x2 = t et en substituant dans l'équation ci-dessus on obtient :
t2 + 3t – 4 = 0 → qui est une équation du 2e degré.
Nous pouvons résoudre cette équation en utilisant la formule de Baskara.
Ces valeurs ne sont pas les racines de l'équation, car l'inconnue est x et non t. Mais nous devons :
X2 = t
Puis,
X2 = 1 ou x2 = – 4
de x2 = 1, on obtient que x = 1 ou x = – 1.
de x2 = – 4, on obtient qu'il n'y a pas de nombres réels qui satisfassent l'équation.
Par conséquent, S = {– 1, 1}
Notez que dans l'alternative le nous avions une équation du 2e degré et nous avons trouvé deux racines. Dans l'alternative B nous résolvons une équation du 3e degré et trouvons une seule racine. Et l'équation de l'item ç, c'était une équation du 4ème degré et nous n'avons trouvé que deux racines.
Comme indiqué précédemment, le degré de l'équation détermine le nombre de racines qu'elle a :
Grade 2 → deux racines
3e année → trois racines
Grade 4 → quatre racines
Mais qu'est-il arrivé aux équations alternatives B et ç?
Il s'avère qu'une équation de degré n 2 peut avoir des racines réelles et des racines complexes. Dans le cas de l'équation du troisième degré de l'élément b, nous ne trouvons qu'une seule racine réelle, les deux autres racines sont des nombres complexes. Il en est de même pour l'équation du point c: on trouve deux racines réelles, les deux autres sont complexes.
A propos des racines complexes, nous avons le théorème suivant.
Si le nombre complexe a + bi, b 0, est la racine de l'équation a0Xnon + le1Xn-1+... + len-1x + unnon = 0, de coefficients réels, donc son conjugué, a – bi, est aussi la racine de l'équation.
Les conséquences du théorème sont :
• Équation du 2e degré à coefficients réels → n'a que des racines réelles ou deux racines complexes conjuguées.
• Équation du 3e degré à coefficients réels → n'a que des racines réelles ou une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.
• Équation du 4e degré à coefficients réels → n'a que des racines réelles ou deux racines conjuguées complexes et deux réels ou seulement quatre racines conjuguées complexes, deux par deux.
• Équation du 5e degré à coefficients réels → n'a que des racines réelles ou deux racines complexes conjuguée et l'autre réelle ou au moins une racine réelle et l'autre racine complexe, deux à deux conjugué.
Il en est de même pour les équations de degrés supérieures à 5.
Par Marcelo Rigonatto
Spécialiste en statistique et modélisation mathématique
Équipe scolaire du Brésil
Nombres complexes - Math - École du Brésil
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm
