O Venn-kaavio, tunnetaan myös nimellä Venn-Euler-kaavio, on a tapa piirtää joukko, tähän käytämme suljettua viivaa, jolla ei ole itsensä leikkausta, ja edustamme joukon elementtejä tämän linjan sisällä. Kaavion tarkoituksena on helpottaa ymmärtämistä perusjoukon toiminnot, kuten: osallisuus- ja kuulumissuhde, liitos ja leikkauspiste, ero ja täydentävä joukko.
Lue myös: Toiminnot kokonaislukujen välillä: tiedä ominaisuudet
Venn-kaavion esitykset
Kuten on esitetty, Venn-kaavio koostuu suljetusta (ei kietoutuvasta) linjasta, jolle "sijoitamme" kyseisen joukon elementit, jotta voimme edustavat yhtä tai useampaa sarjaa samanaikaisesti. Katso esimerkit:
• Yksi sarja
Voimme edustaa sinua yksi suljettu linjaedustetaan esimerkiksi joukkoa A = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Kahden sarjan välillä
Meidän on tehtävä kaksi samanlaista kuvaajaa kuin yksi joukko. Joukkooperaatioista tiedämme kuitenkin, että kahden sarjan avulla ne voivat leikata tai olla ristiriidassa. Jos nämä kaksi joukkoa eivät leikkaa toisiaan, ne nimetään disjoint-sarjat.
Esimerkki 1
Piirrä Venn-kaaviota käyttäen joukot A = {a, b, c, d, e, f} ja B = {d, e f, g, h, i}.
Huomaa, että leikkauspiste on kaavion osa, joka kuuluu kahteen sarjaan, aivan kuten määritelmässä.
A ∩ B = {d, e, f}
Esimerkki 2
Piirrä joukot C = {a, b, c, d} ja D = {e, f, g, h}.
Huomaa, että näiden joukkojen leikkauspiste on tyhjä, koska siinä ei ole yhtään elementtiä, joka kuuluu samanaikaisesti molempiin, toisin sanoen:
C ∩ D = {}
• Kolmen sarjan välillä
Kolmen sarjan Venn-kaavion esityksen idea on samanlainen kuin kahden sarjan välinen esitys. Tässä mielessä joukot voivat olla erillään yksi kerrallaan, toisin sanoen niillä ei ole yhtään leikkauspistettä; tai ne voivat olla kaksi kerrallaan irti, toisin sanoen vain kaksi heistä leikkaa; tai kaikki leikkaavat.
Esimerkki
Esitys Vennin kaavion avulla joukkoista A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} ja C = {d, e, c, h}.
Katso myös: Tärkeät joukkoasetukset
jäsenyyssuhde
Jäsenyyssuhteen avulla voimme sanoa, kuuluuko elementti tiettyyn ryhmään vai ei. Tätä varten käytämme symboleja:
Tarkastellaan joukkoa A = {a, b, c, d}. Analysoimalla sen ymmärrämme sen gEsimerkiksi, ei kuulu hänelle, joten Venn-kaaviossa meillä on:
Osallisuuden suhde
Osallisuuden suhde antaa meille mahdollisuuden sanoa onko joukko toisessa joukossa vai ei. Kun joukko sisältyy toiseen, sanomme, että se on a osajoukko. Tätä varten käytämme symboleja:
Esimerkki tästä on joukko luonnolliset luvut ja joukko kokonaislukuja. Tiedämme, että luonnollisten lukujen joukko on kokonaislukujoukon osajoukko, naturalsjoukko sisältyy kokonaislukujoukkoon.
Toiminnot sarjojen välillä
Kahden tai useamman joukon perustoiminnot ovat: yhtenäisyyttä, Risteys ja ero kahden sarjan välillä.
• Liitto
Kahden joukon välinen liitos muodostuu yhdistämällä kuhunkin sarjaan sisältyvät elementit, toisin sanoen: otetaan huomioon kahden ryhmän kaikki elementit. Katso:
Tarkastellaan joukkoja A = {1, 2, 3, 4} ja B = {3, 4, 5, 6, 7}. Niiden välisen liiton antaa:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Varjosimme Venn-kaaviossa liitososan, eli molemmat sarjat, tarkista:
• Risteys
Risteys on uusi numeerinen joukko, jonka muodostavat elementit, jotka kuuluvat samanaikaisesti muihin joukkoihin. Yleensä Venn-kaavion joukoiden välinen leikkauspiste annetaan grafiikalle yhteinen osa. Katso:
Kun taas otetaan huomioon joukot A = {1, 2, 3, 4} ja B = {3, 4, 5, 6, 7}, meillä on, että joukot A ja joukko B samanaikaisesti ovat alkioita :
A ∩ B = {3,4}
• Ero kahden sarjan välillä
Tarkastellaan kahta joukkoa C ja D, niiden välinen ero (C - D) on uusi joukko, joka muodostuu elementeistä, jotka kuuluvat C: hin ja jotka eivät kuulu D: hen. Yleensä voimme edustaa tätä eroa Venn-kaavion avulla seuraavasti:
ratkaisi harjoituksia
Kysymys 1 - (Ufal) Seuraavassa kuvassa on esitetty erimittaiset joukot A, B ja C. Värillinen alue edustaa joukkoa:
a) C - (A ∩ B)
b) (A ∩ B) - C
c) (A U B) - C
d) A U B U C
e) A ∩ B ∩ C
Ratkaisu
Vaihtoehto b.
Muistaen joukko-operaatiot tiedämme, että kahden joukon leikkauspiste Venn-kaaviossa saadaan heille yhteisestä osasta. Ottaen huomioon joukot A, B ja C ja värittämällä joukon leikkauspiste A ∩ B, meillä on:
Otsikko: Ratkaisukysymys 1 - osa 1
Huomaa, että jos poistamme elementit joukosta C, saadaan harjoituksen pyytämä värillinen osa, eli meidän on ensin korostettava leikkauspiste ja poistettava sitten elementit C.
(A ∩ B) - C
kysymys 2 - (Uerj) Koulun lapset osallistuivat rokotuskampanjaan infantiilihalvauksia ja tuhkarokkoa vastaan. Kampanjan jälkeen todettiin, että 80% lapsista sai halvausrokotuksen, 90% sai tuhkarokkorokotuksen ja 5% ei kumpikaan.
Määritä tämän koulun lasten prosenttiosuus, jotka saivat molemmat rokotteet.
Ratkaisu
Koska molempien rokotteiden saaneiden lasten prosenttiosuutta ei tunneta, kutsumme sitä aluksi x: ksi. Muista, että emme saa käyttää% -merkkiä, mutta kirjoita harjoituksen prosenttiosuudet desimaalimuodossa tai murto-osassa.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
Vain halvausrokotteen ottaneiden lasten kokonaismäärän selvittämiseksi vähennimme vahvistetun prosenttiosuuden (80%) molempien (x) ottaneiden prosenttiosuudesta, ja sama tulisi tehdä lapsille, jotka ottivat rokotteen vain tuhkarokko. Täten:
Yhdessä kaikkien lasten kanssa prosenttiosuus on 100%, joten:
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - x = 1
- x = 1 - 1,75
(–1) · - x = - 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Siksi 75 prosentilla koulun lapsista oli molemmat rokotteet.
Kirjailija: L.do Robson Luiz
Matematiikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm