ymmärtäminen sarjat on tutkimuksen pääasiallinen perusta algebra ja matematiikassa erittäin tärkeät käsitteet, kuten toimintoja ja eriarvoisuudet. Sarjoille käytetty merkintätapa on aina iso kirjain aakkosistamme (esim. Sarja A tai sarja B).
Mitä tulee sarjojen esitys, se voidaan tehdä venn-kaavio, yksinkertaisesti kuvaamalla sen elementtien ominaisuudet, luetelemalla elementit tai kuvaamalla niiden ominaisuuksia. Kun työskentelet ongelmien kanssa, joihin liittyy sarjaa, on tilanteita, jotka edellyttävät suorituskykyä operaatioiden välillä, joka on unioni, risteys ja ero. Tutkimmeko tätä kaikkea yksityiskohtaisesti?
Katso myös: Numeeriset lausekkeet - opi ratkaisemaan ne!
Sarjojen merkitseminen ja esittäminen
Joukon esittämiseen käytämme aina a aakkoset isolla kirjaimella, ja elementit ovat aina välillä näppäimiä ja erotetaan pilkulla. Esitämme esimerkiksi parillisten numeroiden joukon, joka on suurempi kuin 1 ja alle 20, seuraavaa merkintää: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Sarjoiden esitysmuodot
edustus luetteloituna: Voimme luetella sen elementit, eli tehdä luettelon aina aaltosulkeiden väliin. Katso esimerkki:
A = {1,5,9,12,14,20}
kuvaamalla ominaisuuksia: voimme yksinkertaisesti kuvata joukon ominaisuuksia. Olkoon esimerkiksi X joukko, meillä on, että X = {x on positiivisen luvun kerroin 5: stä; Y: on vuoden kuukausien joukko.
Venn-kaavio: sarjat voidaan esittää myös kaaviona, joka tunnetaan nimellä a venn-kaavio, joka on tehokkaampi edustus toimintojen suorittamisessa.
Esimerkki:
Koska joukko A = {1,2,3,4,5}, voimme edustaa sitä seuraavassa Venn-kaaviossa:
Joukon ja jäsenyyden suhteet
Kun otetaan huomioon mikä tahansa elementti, voimme sanoa, että elementti kuuluu sarjaan tai ei kuulu siihen sarjaan. Edustamaan tätä jäsenyhdistystä nopeammin käytämme symboleja
(lue kuuluvaksi) ja ∉ (lue kuulumattomaksi). Olkoon P esimerkiksi joukko parinumerot, voimme sanoa, että 7 ∉ P ja että 12 P.
Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)
Sarjojen tasa-arvo
Joukkojen vertailu on väistämätöntä, joten voimme sanoa, että kaksi joukkoa on yhtä suuri tai ei, tarkistaen kaikki sen elementit. Olkoon A = {0,1,3,4,8} ja B = {8,4,3,1,0}, vaikka elementit olisivat eri järjestyksessä, voimme sanoa, että joukot A ja B ovat samat: A = B.
Osallisuuden suhde
Kun verrataan kahta sarjaa, voimme törmätä useisiin suhteisiin, ja yksi niistä on inkluusiosuhde. Tätä suhdetta varten meidän on tiedettävä joitain symboleja:
⊃ → sisältää ⊂→ sisältyy
⊅ → ei sisällä ⊄→ei sisälly
Vinkki: Symbolin avautuva puoli tulee aina kohti suurempaa sarjaa. |
Kun kaikki joukon A elementit kuuluvat myös joukkoon B, sanomme, että A ⊂ B tai että A on B: ssä. Esimerkiksi A = {1,2,3} ja B = {1,2,3,4,5,6}. Esityksen voi suorittaa myös venn-kaavio, joka näyttäisi tältä:
A sisältyy kohtaan B:
A ⊂ B
Alaryhmät
Kun osallisuuden suhdeeli joukko A sisältyy joukkoon B, voimme sanoa, että A on B: n osajoukko. Alajoukko on edelleen joukko ja a sarjalla voi olla useita alijoukkoja, joka on rakennettu siihen kuuluvista elementeistä.
Esimerkiksi: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} sisältää alajoukoina joukot B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} ja jopa joukko A {1,2,3,4,5,6,7,8}, toisin sanoen A on itsensä osajoukko.
yhtenäinen sarja
Kuten nimestä jo käy ilmi, se asettaa sen on vain yksi elementti, kuten aiemmin näytetty joukko D: {1}. Kun otetaan huomioon joukko B: {1,2,3}, meillä on osajoukot {1}, {2} ja {3}, jotka ovat kaikki yksikköjoukkoja.
HUOMIO: Joukko E: {0} on myös yhtenäinen joukko, koska sillä on yksi elementti "0", eikä se ole tyhjä joukko.
Lue myös: Joukko kokonaislukuja - elementit ja ominaisuudet
tyhjä sarja
Vielä vihjaavammalla nimellä tyhjässä joukossa ei ole elementtejä ja se on minkä tahansa joukon osajoukko. Tyhjän sarjan edustamiseksi on kaksi mahdollista esitystapaa, ne ovat V: {} tai symboli Ø.
Osasarjat
Tunnemme osajoukoina kaikki tietyn joukon mahdolliset osajoukot. Olkoon A: {1,2,3,4}, voimme listata kaikki tämän joukon A osajoukot alkaen siitä joukosta ei ole elementtejä (tyhjiä) ja sitten ne, joissa on yksi, kaksi, kolme ja neljä elementtiä, vastaavasti.
tyhjä sarja: { };
Yksikköjoukot: {1}; {2};{3}; {4}.
Sarjat, joissa on kaksi elementtiä: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
sarjaa, jossa on kolme elementtiä: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Neljä elementtiä: {1,2,3,4}.
Siksi voimme kuvata A: n osajoukon tällä tavalla:
P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
Selvittääksemme kuinka monta osaa on mahdollista jakaa joukko, käytämme kaavaa:
n [P (A)] = 2ei
A: n osien lukumäärä lasketaan a: lla teho pohja 2 kohotettu ei, mistä ei on sarjan elementtien määrä.
Tarkastellaan joukkoa A: {1,2,3,4}, jossa on neljä elementtiä. Tämän sarjan mahdollisten osajoukkojen kokonaismäärä on 24 =16.
Lue myös: Mikä on irrationaalilukujen joukko?
Äärellinen ja ääretön sarja
Työskennellessämme joukkojen kanssa löydämme joukot, jotka ovat rajoitettu (rajallinen) ja ne, jotka ovat rajoittamaton (ääretön). Sarja parilliset tai parittomat luvuton esimerkiksi ääretön, ja sen kuvaamiseksi kuvaamme joitain sen elementtejä peräkkäin, niin, että on mahdollista ennustaa, mitkä seuraavat elementit tulevat olemaan, ja laitamme ellipsit Lopullinen.
I: {1,3,5,7,9,11 ...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
Lopullisessa joukossa emme kuitenkaan laita ellipsejä loppuun, koska sillä on määritelty alku ja loppu.
V: {1,2,3,4}.
maailmankaikkeus
O maailmankaikkeus, merkitty U, määritellään joukoksi, jonka muodostavat kaikki elementit, jotka on otettava huomioon ongelman sisällä. Jokainen elementti kuuluu maailmankaikkeusjoukkoon ja jokainen joukko sisältyy maailmankaikkeusjoukkoon.
Operaatiot sarjoilla
Operaatiot sarjoilla ovat: liitos, leikkauspiste ja ero.
Sarjojen leikkauspiste
Risteys tapahtuu, kun elementit kuuluvat samanaikaisesti yhteen tai useampaan joukkoon. Kun kirjoitamme A∩B, etsimme elementtejä, jotka kuuluvat sekä sarjaan A että ryhmään B.
Esimerkki:
Tarkastellaan A = {1,2,3,4,5,6} ja B = {2,4,6,7,8}, sekä joukkoon A että ryhmään B kuuluvat elementit ovat: A∩B = {2, 4,6}. Tämän operaation esitys tapahtuu seuraavasti:
A∩B
Kun sarjoilla ei ole yhteisiä elementtejä, ne tunnetaan nimellä disjoint-sarjat.
A∩B = Ø
sarjajoukkojen välinen ero
laskea ero kahden sarjan välillä on etsiä elementtejä, jotka kuuluvat vain yhteen kahdesta joukosta. Esimerkiksi A - B: n vastauksena on joukko elementtejä, jotka kuuluvat joukkoon A eivätkä kuulu ryhmään B.
Esimerkki: A: {1,2,3,4,5,6} ja B: {2,4,6,7,8}. Huomaa, että A ∩ B = {2,4,6}, joten meillä on seuraava:
a) A - B = {1,3,5}
b) B - A = {7,8}
Ykseys
Kahden tai useamman joukon yhdistäminen on liittyminen ehtoihisi. Jos on elementtejä, jotka toistuvat molemmissa sarjoissa, ne kirjoitetaan vain kerran. Esimerkiksi: A = {1,2,3,4,5} ja B = {4,5,6,7,10,14}. Unionin edustamiseksi käytämme symbolia (lukee: Liitto B: n kanssa).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Lue lisää näistä toiminnoista ja tutustu useisiin ratkaistuihin harjoituksiin lukemalla: Operaatiot sarjoilla.
Morganin lait
Olkoon A ja B kaksi joukkoa ja olkoon U universumin joukko, on kaksi ominaisuutta, jotka Morganin lait antavat:
(A U B)ç = Aç ∩Bç
(A ∩ B)ç = Aç U Bç
Esimerkki:
Ottaen huomioon sarjat:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
V: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Tarkistetaan, että (A U B)ç = Aç ∩Bç. Joten meidän on:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Siksi (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Tarkistetaan tasa-arvon todenmukaisuus analysoimalla operaatio Aç ∩Bç:
THEç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Sitten, THEç ∩Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Aç ∩Bç
ratkaistut harjoitukset
01) Harkitse U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} ja B: {4,5,6, 7,8,9}. Osoita, että (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
Resoluutio:
1. askel: etsi (A ∩ B)ç. Tätä varten meillä on, että A ∩ B = {4,5,6}, joten (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2. vaihe: löydäç U Bç. THEç: {7,8,9,10} ja Bç: {1,2,3,10}, joten Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Osoitetaan, että (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
02) Kun tiedämme, että A on joukko parillisia numeroita 1: stä 20: een, mikä on niiden osajoukkojen kokonaismäärä, jotka voimme rakentaa kyseisen joukon elementeistä?
Resoluutio:
Olkoon P kuvattu joukko, meillä on se P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Siksi P: n elementtien lukumäärä on 10.
Osateorian mukaan P: n mahdollisten osajoukkojen määrä on:
210=1024
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja
(PUC-Rio-2009) Koulussa 100 opiskelijan kanssa 80 pitää suklaajäätelöä, 70 kuten kermajäätelöä ja 60 molempia makuja. Kuinka moni opiskelija ei pidä kumpaakin makua?
(PUC) Markkinatutkimuksessa havaittiin, että 15 ihmistä käyttää ainakin yhtä tuotteista A tai B. Kuinka moni ihmisistä käyttää tuotteita A ja B, tietäen, että 10 näistä ihmisistä ei käytä tuotetta B ja 2 näistä ihmisistä?
