Factoring on matematiikassa käytetty prosessi, joka koostuu luvun tai lausekkeen edustamisesta tekijöiden tulona.
Kirjoittamalla polynomin, kuten muiden polynomien kertolasku, voimme usein yksinkertaistaa lauseketta.
Tarkista alla olevat polynomifaktorointityypit:
Yhteinen tekijä todisteissa
Käytämme tämän tyyppistä jakoa, kun on olemassa tekijä, joka toistaa itseään kaikilla polynomilla.
Tämä tekijä, joka voi sisältää numeroita ja kirjaimia, sijoitetaan sulkujen eteen.
Suluissa on tulos jakamalla polynomin kukin termi yhteisellä tekijällä.
Tehdään käytännössä seuraavat vaiheet:
1º) Määritä onko jokin luku, joka jakaa kaikki polynomin ja kirjainten kertoimet, jotka toistetaan kaikilla termeillä.
2º) Laita yleiset tekijät (numero ja kirjaimet) sulkeiden eteen (todisteina).
3.) Suluissa oleva tulos jakamalla polynomin kukin tekijä todisteella olevalla tekijällä. Kirjeiden tapauksessa käytämme saman perustan vallanjakosääntöä.
Esimerkkejä
a) Mikä on polynomin 12x + 6y - 9z laskutettu muoto?
Ensinnäkin tunnistamme numeron 3 jakaa kaikki kertoimet ja että ei ole toistuvaa kirjainta.
Laitamme numeron 3 sulkeiden eteen, jaamme kaikki termit kolmella ja tulos, jonka laitamme sulkeisiin:
12x + 6v - 9z = 3 (4x + 2v - 3z)
b) Kerroin 2a2b + 3a3c - a4.
Koska ei ole numeroa, joka jakaisi 2, 3 ja 1 samanaikaisesti, emme laita yhtään numeroa sulkeiden eteen.
Kirje toistetaan kaikilla termeillä. Yhteinen tekijä on 2, joka on pienin eksponentti ilmaisussa.
Jaamme polynomin kukin termi 2:
2.2 b:2 = 2. sija2 - 2 b = 2b
3.3c:2 = 3. sija3 - 2 c = 3ac
4: a2 =2
Laitamme 2 sulkeiden edessä ja suluissa olevien jakojen tulokset:
2.2b + 3a3c - a4 =2 (2b + 3ac - a2)
ryhmittely
Polynomissa, jota ei ole olemassa, kaikilla termeillä toistuva tekijä, voimme käyttää jakoa ryhmittelemällä.
Tätä varten meidän on tunnistettava termit, jotka voidaan ryhmitellä yhteisten tekijöiden mukaan.
Tämäntyyppisessä jaottelussa laitamme ryhmien yhteiset tekijät todisteeksi.
Esimerkki
Kerroin polynomille mx + 3nx + my + 3ny
Ehdot mx ja 3nx on yhteisenä tekijänä x. jo ehdot minun ja 3ny on yhteisenä tekijänä y.
Näiden tekijöiden todistaminen:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Huomaa, että (m + 3n) toistetaan nyt myös molemmilla termeillä.
Laittamalla se jälleen todisteeksi löydämme polynomin laskennallisen muodon:
mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Täydellinen neliön trinomi
Trinomiaalit ovat polynomeja, joissa on 3 termiä.
Täydelliset neliömäiset kolmiomallit a2 + 2ab + b2 ja2 - 2ab + b2 tulosta tyypin (a + b) merkittävästä tuotteesta2 ja (a - b)2.
Täten täydellisen neliön kolmiomaisen tekijä on:
2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (kahden termin summan neliö)
2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (kahden termin erotuksen neliö)
Teemme seuraavat, jotta saat selville, onko trinomi todella täydellinen neliö.
1º) Laske neliöjuuri termeistä, jotka näyttävät neliöinä.
2) Kerro löydetyt arvot 2: lla.
3.) Vertaa löydettyä arvoa termiin, jolla ei ole neliöitä. Jos he ovat tasa-arvoisia, se on täydellinen neliö.
Esimerkkejä
a) Kerroin polynomille x2 + 6x + 9
Ensin on testattava, onko polynomi täydellinen neliö.
√x2 = x ja √9 = 3
Kertomalla 2: lla löydämme: 2. 3. x = 6x
Koska löydetty arvo on yhtä suuri kuin termi, jota ei ole neliö, polynomi on täydellinen neliö.
Näin ollen jako on:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) Kerro polynomi x2 - 8xy + 9y2
Testaus, onko se täydellinen neliön muotoinen trinomi:
√x2 = x ja √9y2 = 3v
Kertolasku: 2. x. 3y = 6xy
Löydetty arvo ei vastaa polynomin termiä (8xy 8 6xy).
Koska se ei ole täydellinen neliön muotoinen trinomi, emme voi käyttää tämän tyyppistä kertointa.
Kahden neliön ero
A-tyypin polynomien huomioon ottamiseksi2 - B2 käytämme summan ja eron merkittävää tuloa.
Näin ollen tämän tyyppisten polynomien kerroin on:
2 - B2 = (a + b). (a - b)
Arvioimiseksi meidän on laskettava kahden termin neliöjuuri.
Kirjoita sitten löydettyjen arvojen summa ja näiden arvojen ero.
Esimerkki
Kerro 9x-binomi2 - 25.
Etsi ensin termien neliöjuuri:
√9x2 = 3x ja √25 = 5
Kirjoita nämä arvot summan ja eron tulona:
9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
täydellinen kuutio
polynomit a3 + 3.2b + 3ab2 + b3 ja3 - 3.2b + 3ab2 - B3 tulosta tyypin (a + b) merkittävästä tuotteesta3 tai (a - b)3.
Täten täydellisen kuution muotoinen muoto on:
3 + 3.2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
3 - 3.2b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
Tällaisten polynomien huomioon ottamiseksi meidän on laskettava kuutioon termien kuutiojuuri.
Jälkeenpäin on tarpeen vahvistaa, että polynomi on täydellinen kuutio.
Jos näin on, kuutioimme löydettyjen kuutiojuurien arvojen summan tai vähennyksen.
Esimerkkejä
a) Kerroin polynomille x3 + 6x2 + 12x + 8
Lasketaan ensin kuutioitujen termien kuutiojuuri:
3√ x3 = x ja 3√ 8 = 2
Vahvista sitten, onko se täydellinen kuutio:
3. x2. 2 = 6x2
3. x. 22 = 12x
Koska löydetyt termit ovat samat kuin polynomin termit, se on täydellinen kuutio.
Näin ollen jako on:
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
b) Kerro polynomi a3 - yhdeksäs2 + 27. – 27
Lasketaan ensin kuutioitujen termien kuutiojuuri:
3että3 = a ja 3√ - 27 = - 3
Vahvista sitten, onko se täydellinen kuutio:
3.2. (-3) = - yhdeksäs2
3.. (- 3)2 = 27
Koska löydetyt termit ovat samat kuin polynomin termit, se on täydellinen kuutio.
Näin ollen jako on:
3 - yhdeksäs2 + 27a - 27 = (a - 3)3
Lue myös:
- Tehostaminen
- Polynomit
- Polynomitoiminto
- alkuluvut
Ratkaistut harjoitukset
Kerro seuraavat polynomit:
a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 -2
e) yhdeksäs2 + 12. + 4
a) 11. (3x + 2v - 5z)
b) 6n. (x - y)
c) (x - 2c). (4 + m)
d) (7 + a). (7 - a)
e) (3. + 2)2
Katso myös:
- Algebralliset lausekkeet
- Harjoituksia algebrallisilla lausekkeilla
- Merkittäviä tuotteita
- Merkittävät tuotteet - Harjoitukset
