2. asteen yhtälön x ratkaisemisessa2 - 6x + 9 = 0, löydämme kaksi yhtä suurta juurta kuin 3. Hajotuseoreeman avulla lasketaan polynomi ja saadaan:
x2 - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)2
Tässä tapauksessa sanomme, että 3 on yhtälön moninkertaisuuden 2 tai kaksoisjuuri.
Jos siis laskettu polynomi johtaa seuraavaan lausekkeeseen:
Voimme sanoa, että:
x = -5 on juuri, jolla on moninkertaisuus 3, tai yhtälön p (x) = 0 kolminkertainen juuri
x = -4 on juuri, jolla on moninkertaisuus 2, tai yhtälön p (x) = 0 kaksoisjuuri
x = 2 on juuri, jolla on moninkertaisuus 1, tai yksinkertainen yhtälön p (x) = 0 juuri
Yleisesti sanomme, että r on yhtälön p (x) = 0 moninkertaisuuden n juuret, n = 1, jos:
Huomaa, että p (x) on jaollinen (x - r)m ja että ehto q (r) ≠ 0 tarkoittaa, että r ei ole q: n (x) juuri, ja takaa, että juuren r moninaisuus ei ole suurempi kuin m.
Esimerkki 1. Ratkaise x-yhtälö4 - 9x3 + 23x2 - 3x - 36 = 0, kun otetaan huomioon, että 3 on kaksoisjuuri.
Ratkaisu: Pidetään p (x): tä annettuna polynomina. Täten:
Huomaa, että q (x) saadaan jakamalla p (x) luvulla (x - 3)2.
Jakamalla Briot-Ruffinin käytännön laitteella saadaan:
Jakamisen suorittamisen jälkeen näemme, että polynomin q (x) kertoimet ovat 1, -3 ja -4. Siten q (x) = 0 on: x2 - 3x - 4 = 0
Ratkaistaan yllä oleva yhtälö muiden juurien määrittämiseksi.
x2 - 3x - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 tai x = 4
Siksi S = {-1, 3, 4}
Esimerkki 2. Kirjoita algebrallinen yhtälö, jolla on vähintään aste siten, että 2 on kaksoisjuuri ja - 1 on yksi juuri.
Ratkaisu: Meidän on:
(x - 2) (x - 2) (x - (-1)) = 0
Tai
Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)
Kirjoittanut Marcelo Rigonatto
Tilastojen ja matemaattisen mallinnuksen asiantuntija
Brasilian koulutiimi
Polynomit - Matematiikka - Brasilian koulu
Haluatko viitata tähän tekstiin koulussa tai akateemisessa työssä? Katso:
RIGONATTO, Marcelo. "Juuren moninaisuus"; Brasilian koulu. Saatavilla: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm. Pääsy 29. kesäkuuta 2021.
