Pienempien tai yhtä suurien kuin 3 (n≤3) neliömatriisien determinanttien laskemiseksi meillä on joitain käytännön sääntöjä näiden laskelmien suorittamiseksi. Kuitenkin, kun järjestys on suurempi kuin 3 (n> 3), monia näistä säännöistä ei voida soveltaa.
Joten näemme Laplace-lauseen, joka johtaa kofaktorikonseptin avulla determinanttien laskemisen sääntöihin, jotka koskevat kaikkia neliömatriiseja.
Laplacein lause koostuu yhden matriisin rivistä (rivi tai sarake) valitsemisesta ja kyseisen rivin alkioiden tulojen lisäämisestä niiden vastaavien kofaktorien avulla.
Algebrallinen kuva:
Katsotaanpa esimerkkiä:
Laske matriisin C determinantti Laplacen lauseen avulla:
Laplace'in lauseen mukaan meidän on valittava rivi (rivi tai sarake) determinantin laskemiseksi. Käytetään ensimmäistä saraketta:
Meidän on löydettävä kofaktoriarvot:
Täten Laplace-lauseella matriisin C determinantti saadaan seuraavalla lausekkeella:
Huomaa, että matriisielementin kofaktoria, joka oli yhtä suuri kuin nolla, ei ollut tarpeen laskea, loppujen lopuksi, kun kerroimme kofaktorin, tulos olisi joka tapauksessa nolla. Siksi, kun kohtaamme matriiseja, joiden toisella rivillä on monia nollia, Laplace-lauseen käytöstä tulee mielenkiintoinen, koska ei tarvitse laskea useita kofaktorit.
Katsotaanpa esimerkkiä tästä tosiasiasta:
Laske matriisin B determinantti Laplacein lauseen avulla:
Huomaa, että toinen sarake on rivi, jolla on suurin määrä nollia, joten käytämme tätä riviä matriisideterminantin laskemiseen Laplace'in lauseen kautta.
Siksi matriisin B determinantin määrittämiseksi etsi vain kofaktori A22.
Siksi voimme suorittaa determinantin laskelmat loppuun:
det B = (- 1). (- 65) = 65
Kirjailija: Gabriel Alessandro de Oliveira
Valmistunut matematiikasta
Brasilian koulutiimi
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm