Kuvittele leikkivän marmorilla muodostaen kolmioita. Voit ensin ajatella, että pallo on kuin pieni kolmio:
•
Sitten asetat niiden alle kaksi marmoria ja muodostat a: n kolme kärkeä kolmio:
•
• •
Jos asetat vielä kolme palloa näiden alle, se muodostaa uuden kolmion:
•
• •
• • •
Jokaisessa pallojen lisäämisvaiheessa suhteessa aiemmin asetettuun määrään muodostuu aina kolmioita. Katso kolmio, joka muodostuu lisäämällä vielä neljä palloa:
•
• •
• • •
• • • •
Pallien kokonaismäärä kussakin vaiheessa luonnehtii numeroluokkaa, jota kutsutaan nimellä kolmionumerot. Matemaatikko Karl Friedrich Gauss löysi kaavan, joka osoittaa kunkin kolmion kokonaismäärän, jossa s1vastasi ensimmäistä kolmiota, s2, toiseen kolmioon ja niin edelleen. Gaussin kuvaamat summat alkoivat a ja, jokaisessa vaiheessa lisättiin numero, joka vastasi yhtä yksikköä viimeksi lisätyn numeron yläpuolelle:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Näiden summien tulokset olivat kolmiomaiset luvut: 1, 3, 6, 10, 15... Huomaa, että jokaiselle näistä summista on määritetty malli. Tarkasteltaessamme voimme nähdä, että jokainen niistä on a
aritmeettinen progressio syystä 1. Joten tässä on gaussin summa, joka määrittää, että vakiosuhteen summassa, jos lisäämme ensimmäisen alkion viimeiseen, saamme saman tuloksen kuin lisäämällä toisen alkion toiseksi viimeiseen. Katsotaanpa kuinka Gaussin summaprosessi summille tapahtuu. s6 ja s7:
Kolmiolukujen summaan sovellettu Gaussin summaprosessi
Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on muutakin ;)
jos lopettaa s6 ja s7 meillä on summat yllä olevasta kuvasta, toistetaan tämä summa s8, S9, S10 ja s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Voimme yleistää saadaksemme summan sei:
sei = n. (n+1), jos n on parillinen
2
sei = (n - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, jos n on pariton
2 2
aivan kuten sisällä numero taikuutta, voimme näyttää toisen mielenkiintoisen tosiasian kolmioluvuista: seuraavien kolmiolukujen summan tuloksena on aina lukuja, jotka voidaan luokitella täydellisiksi neliöiksi, eli numeroiksi, joilla on juuri neliö. Katsotaan:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
Saadut tulokset, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ja 121, ovat kaikki täydellisiä neliöitä.
Kirjailija: Amanda Gonçalves
Valmistunut matematiikasta
Haluatko viitata tähän tekstiin koulussa tai akateemisessa työssä? Katso:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Kolmiomaiset numerot"; Brasilian koulu. Saatavilla: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Käytetty 27.7.2021.
