Aritmeettinen eteneminen (P.A.)

THE Aritmeettinen eteneminen (P.A.) on numerosarja, jossa kahden peräkkäisen termin ero on aina sama. Tätä vakioeroa kutsutaan P.A.

Siten sekvenssin toisesta elementistä eteenpäin tulevat numerot ovat seurausta vakion summasta edellisen elementin arvoon.

Tämä erottaa sen geometrisesta etenemisestä (PG), koska tässä luvut kerrotaan suhteella, kun taas aritmeettisessa etenemisessä ne lisätään.

Aritmeettisilla etenemisillä voi olla kiinteä lukumäärä termejä (äärellinen P.A.) tai loputon määrä termejä (ääretön P.A.).

Osoittaaksemme, että jakso jatkuu loputtomasti, käytämme esimerkiksi ellipsejä:

• sekvenssi (4, 7, 10, 13, 16, ...) on ääretön P.A.
• sekvenssi (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) on äärellinen P.A.

Jokainen P.A.-termi tunnistetaan sijasta, jonka se käyttää järjestyksessä, ja jokaisen termin edustamiseksi käytämme kirjainta (yleensä kirjainta ), jota seuraa numero, joka osoittaa sen sijainnin sekvenssissä.

Esimerkiksi termi ₄ kohdassa P.A (2, 4, 6, 8, 10) on luku 8, koska se on numero, joka on järjestyksessä 4. sija.

P.A.-luokitus

Suhdearvon mukaan aritmeettiset etenemiset luokitellaan:

• Jatkuva: kun suhde on nolla. Esimerkiksi: (4, 4, 4, 4, 4 ...), jossa r = 0.
• Kasvava: kun suhde on suurempi kuin nolla. Esimerkiksi: (2, 4, 6, 8,10 ...), jossa r = 2.
• laskeva: kun suhde on pienempi kuin nolla (15, 10, 5, 0, - 5, ...), missä r = - 5

P.A. ominaisuudet

1. ominaisuus:

Lopullisessa P.A.: ssä kahden äärimmäisyydestä yhtä kaukana olevan termin summa on yhtä suuri kuin ääripäiden summa.

Esimerkki

2. ominaisuus:

Kun otetaan huomioon P.A: n kolme peräkkäistä termiä, keskitermi on yhtä suuri kuin kahden muun termin aritmeettinen keskiarvo.

Esimerkki

3. ominaisuus:

Lopullisessa PA: ssa, jossa on pariton määrä termejä, keskitermi on yhtä suuri kuin siitä yhtä kaukana olevien termien välinen aritmeettinen keskiarvo. Tämä ominaisuus on peräisin ensimmäisestä.

Yleinen termikaava

Missä,

an: termi, jonka haluamme laskea
a1: P.A.
n: termin sijainti, jonka haluamme löytää
r: syy

Kaavan selitys

Koska P.A: n suhde on vakio, voimme laskea sen arvon mistä tahansa peräkkäisestä termistä, toisin sanoen:

Siksi voimme löytää P.A: n toisen termin arvon tekemällä:

Kolmannen termin löytämiseksi käytämme samaa laskutoimitusta:

A: n arvon korvaaminen₂, jonka löysimme aiemmin, meillä on:

Jos noudatamme samaa päättelyä, voimme löytää:

Havaitsemalla löydetyt tulokset huomaamme, että jokainen termi on yhtä suuri kuin ensimmäisen termin summa suhteella kerrottuna edellisellä paikalla.

Tämä laskelma ilmaistaan ​​P.A: n yleisen termin kaavalla, jonka avulla voimme tietää minkä tahansa aritmeettisen etenemisen elementin.

Esimerkki

Laske P.A: n kymmenes luku: (26, 31, 36, 41, ...)

Ratkaisu

Ensinnäkin meidän on tunnistettava, että:

₁ = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10. kausi).

Kun nämä arvot korvataan yleisen termin kaavassa, meillä on:

_ei =₁ + (n - 1). r
₁₀ = 26 + (10-1). 5
₁₀ = 26 + 9 .5
₁₀ = 71

Siksi ilmoitetun aritmeettisen etenemisen kymmenes luku on yhtä suuri kuin 71.

Yleinen termikaava mistä tahansa k-termistä

Usein yleisen termin, jota kutsumme, määrittelemiseksi meillä ei ole ensimmäistä termiä a1, mutta tiedämme minkä tahansa muun termin, jota kutsumme akiksi.

Voimme käyttää yleistä termikaavaa mistä tahansa k-termistä:

Huomaa, että ainoa ero oli muutos indeksin 1 ensimmäisessä kaavassa k: ksi toisessa.

Oleminen,

an: P.A: n n. termi (termi missä tahansa n-asemassa)
ak: P.A: n k-s termi (termi missä tahansa k-asemassa)
r: syy

P.A.: n ehtojen summa

Jos haluat löytää rajallisen P.A.: n ehtojen summan, käytä vain kaavaa:

Missä,

s_ei: P.A: n ensimmäisen n termin summa
₁: P.A.
_ei: vie sarjassa n: nnen sijan (termi asemassa n)
ei: aikavälin asema

Lue myös PA ja PG.

Harjoitus ratkaistu

Harjoitus 1

PUC / RJ - 2018

Tietäen, että jaksossa olevat luvut (y, 7, z, 15) ovat aritmeettisessa etenemisessä, mitä summa y + z on?

a) 20
b) 14
c) 7
d) 3.5
e) 2

Katso Vastaus

Z-arvon löytämiseksi voimme käyttää ominaisuutta, että kun meillä on kolme peräkkäistä termiä, keskitermi on yhtä suuri kuin kahden muun aritmeettinen keskiarvo. Joten meillä on:

Jos z on yhtä suuri kuin 11, suhde on yhtä suuri kuin:

r = 11-7 = 4

Tällä tavalla y on yhtä suuri kuin:

y = 7 - 4 = 3

Siksi:

y + z = 3 + 11 = 14

Vaihtoehto: b) 14

Harjoitus 2

IFRS - 2017

Alla olevassa kuvassa on sarja suorakulmioita, joiden korkeus on a. Ensimmäisen suorakulmion pohja on b ja seuraavat suorakulmiot ovat edellisen suoran perusarvo plus mittayksikkö. Siten toisen suorakulmion pohja on b + 1 ja kolmas on b + 2 ja niin edelleen.

Harkitse alla olevia lausumia.

I - Suorakulmioalueiden järjestys on suhteen 1 aritmeettinen eteneminen.
II - Suorakulmioiden alueiden järjestys on suhteen a aritmeettinen eteneminen.
III - Suorakulmioiden alueiden järjestys on suhteen a geometrinen eteneminen.
IV - N: n suorakulmion alue (A_ei) voidaan saada kaavalla A_ei = a. (b + n - 1).

Tarkista vaihtoehto, joka sisältää oikeat lauseet.

siellä.
b) II.
c) III.
d) II ja IV.
e) III ja IV.

Katso Vastaus

Suorakulmioiden pinta-ala lasketaan seuraavasti:

A = a. B
THE₁ = a. (b + 1) = a. b + a
THE₂ = a. (b + 2) = a. B. + 2.
THE₃ = a. (b + 3) = a. b + 3a

Löydetyistä lausekkeista huomaamme, että sekvenssi muodostaa P.A.suhteen, joka on yhtä suuri . Jatkamalla jaksoa löydämme n: nnen suorakulmion alueen, jonka antaa:

THE_ei= a. b + (n - 1). a
THE_ei = a. b + a. klo

laittaa todisteena meillä on:

THE_ei = a (b + n - 1)

Vaihtoehto: d) II ja IV.

Harjoitus 3

UERJ

Myönnä jalkapallon mestaruuden järjestäminen, jossa urheilijoiden saamat varoitukset ovat vain keltaisia ​​kortteja. Nämä kortit muunnetaan sakkoiksi seuraavien kriteerien mukaisesti:

• Kaksi ensimmäistä vastaanotettua korttia eivät aiheuta sakkoja;
• Kolmannesta kortista saadaan sakko 500,00 R $.
• Seuraavat kortit tuottavat sakkoja, joiden arvoa korotetaan aina 500,00 R $ verrattuna edellisen sakon arvoon.

Taulukossa esitetään sakot, jotka liittyvät viiteen ensimmäiseen korttiin, joita urheilijalle on annettu.

Tarkastellaan urheilijaa, joka sai 13 keltaista korttia mestaruuden aikana. Kaikkien näiden korttien tuottamien sakkojen kokonaismäärä on todellisuudessa:

a) 30000
b) 33 000
c) 36 000
d) 39 000

Katso Vastaus

Oikea vastaus: b) 33 000

Kolmannesta keltaisesta kortista lähtien sakon määrä kasvaa P.A: ssa suhteella 500,00 R $. Kun otetaan huomioon ensimmäinen termi a1 kolmannen kortin arvolla, R $ 500,00.

Sakkojen kokonaismäärän määrittämiseksi meidän on käytettävä P.A: n ehtojen summan kaavaa.

Koska urheilijalla on 13 keltaista korttia, mutta kaksi ensimmäistä eivät tuota sakkoja, teemme P.A.-arvoksi 13-2 termiä eli 11 termiä.

Siksi meillä on seuraavat arvot:

a1 = 500
n = 11
r = 500

N: nnen termin a11 arvon löytämiseksi käytämme yleistä termikaavaa.

an = a1 + (n-1) .r
a21 = 500 + (11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500

P.A: n ehtojen summan kaavan soveltaminen

Ratkaise lisää harjoituksia:

Aritmeettinen eteneminen - Harjoitukset

Lue lisää lukemalla myös:

• Numeerinen järjestys
• Geometrinen eteneminen
• Geometrinen eteneminen - Harjoitukset
• Matemaattiset kaavat