Permutaatio on laskentatekniikka, jota käytetään määrittämään kuinka monta tapaa on järjestää äärellisen joukon elementit. Vaihdon tekeminen on vaihdon suorittamista, ja yhdistelmähäiriöissä se tarkoittaa paikan elementtien vaihtamista niiden järjestyksen huomioon ottamiseksi.
Nämä tekniikat ovat osa matematiikan kenttää, jota kutsutaan kombinatoriseksi analyysiksi, jonka tarkoituksena on tietää ja laskea joukot ja niiden elementit. Yksinkertainen permutaatio ja a, joissa on toistuvia elementtejä, käsittelevät tämän luokan ongelmia.
yksinkertainen permutaatio
Yksinkertainen permutaatio on äärellisen joukon elementtien järjestys, kun ne elementit eivät toistu, ovat erillisiä. Sitä käytetään näiden lajikkeiden määrän määrittämiseen.
Määrä n elementin joukon permutaatioiden määrä on yhtä suuri kuin n! (lukee n tekijän).
Kaava yksinkertaisten permutaatioiden määrän määrittämiseksi on
Tarkastellaan joukkoa, jossa on n elementtiä. Jos haluat järjestää ne jonoon, meidän on valittava ensimmäinen, ja sitä varten meillä on n mahdollisuutta. Toisen valitsemiseksi meillä on (n-1) mahdollisuuksia, yksi vähemmän, koska käytimme jo vaihtoehtoa valitessamme ensimmäisen. Tämä prosessi jatkuu, kunnes vain yksi elementti on jäljellä.
Voit määrittää permutaatioiden kokonaismäärän kertomalla kunkin elementin valinnassa olemassa olevien mahdollisuuksien määrä. Täten:
Yllä olevaa lauseketta kutsutaan n: n faktorialiksi ja käytämme symbolia ei!.
lisätietoja tekijä täällä.
Esimerkki:
Eri tapoja järjestää sanan kirjaimia kutsutaan anagrammiksi. Kuinka monta anagrammaa on sanalla DUCK?
Nämä ovat mahdollisuuksia:
Joten, koska sanassa PATO on 4 kirjainta, meidän on
Joten sanalle DUCK on olemassa 24 yksinkertaista permutaatiota.
Yksinkertaiset permutaatioharjoitukset
Kysymys 1
Laske arvo .
kysymys 2
Harkitse ensin ensin tullutta palvellaan ensin -jonoa, jossa on kuusi henkilöä. Kuinka monella eri tavalla nämä ihmiset voitaisiin luokitella ensimmäisestä viimeiseen?
Jokainen tilauslomake on yksinkertainen permutaatio, koska yksilöt ovat ainutlaatuisia eivätkä toista itseään. Joten kuuden ihmisen kanssa vastaus on 6 elementin sisältävä permutaatio.
kysymys 3
Harkitse sanaa FORK ja vastaa seuraaviin kysymyksiin?
a) Kuinka monta sanaa FORK on anagrammia?
Koska kirjaimia ei toisteta, tämä on yksinkertainen 5-elementtinen permutaatiotapaus.
b) Kuinka monta anagrammia alkaa kirjaimella A?
Tässä tapauksessa korjaamme A-kirjaimen alkuun ja laskemme permutaatiot kirjaimilla GRFO, jotka ovat 4 elementin permutaatioita.
1 mahdollisuus kirjaimelle A x .
c) Kuinka monta anagrammia on, jos vokaalit ovat aina vierekkäin?
Yksi mahdollisuus olisi G R F A O.
Konsonantteja voi tilata kolmella tavalla. P3 = 3 x 2 x 1 = 6
Vokaaleja voi tilata kahdella tavalla. P2 = 2 x 1 = 2
On vielä kaksi tapaa järjestää ryhmät (konsonantit ja vokaalit) keskenään. P2 = 2 x 1 = 2
Kerro nyt vain tulokset.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
Joten on 24 anagrammia, joissa vokaalit ovat aina yhdessä.
Permutaatio toistolla
Toistettujen elementtien permutaatio tapahtuu, kun n elementin joukossa jotkut niistä ovat yhtä suuria.
Kaavassa, jolla määritetään toistojen permutaatioiden lukumäärä, jaetaan alkioiden kokonaislukumäärän n faktorial toistuvien elementtien kerrointen tulolla.
on n elementin permutaatioiden määrä.
toistetaan kunkin tyyppisten elementtien lukumäärä.
on alkioiden n kokonaismäärän kerroin.
Esimerkkejä
Määritetään, kuinka monta sanaa EGG on. Jotta se olisi helpompaa, väritään kirjaimet. Katsotaanpa sanan EGG anagrammeja.
Kolme elementtiä sisältävien yksinkertaisten permutaatioiden lukumäärä saadaan
Jotkut permutaatiot toistuvat, emmekä voi laskea niitä kahdesti. Tätä varten meidän on jaettava arvo (koska sanassa on kolme kirjainta), kirjoittanut
(koska O-kirjain toistetaan kahdesti).
Siten sanan OVO kirjainten permutaatioiden määrä on yhtä suuri kuin 3.
Katsotaanpa tätä muuta esimerkkiä, jossa määritetään sanojen BANANA kirjainten permutaatioiden määrä.
Missä:
tarkoittaa permutaatiota 6 elementillä, joissa kirjaimet A ja N toistetaan.
3! sillä A-kirjain toistaa itseään kolme kertaa.
2! sillä N-kirjain toistetaan kahdesti.
Vinkki laskennan helpottamiseksi on kehittää 6! kunnes saavutat 3!, yksinkertaistetaan nimittäjällä. Katso kehitys.
Siten sanan BANANA kirjainten permutaatioiden määrä on 60.
Ehkä olet kiinnostunut näistä yhdistelmäanalyysin sisällöistä:
Kombinatorinen analyysi
Harjoitukset kombinatoriseen analyysiin
