Matriisit: kommentoidut ja ratkaistut harjoitukset

Matriisi on reaaliluvuista muodostettu taulukko, joka on järjestetty riveihin ja sarakkeisiin. Matriisissa esiintyviä numeroita kutsutaan elementeiksi.

Hyödynnä ratkaistuja ja kommentoituja valintakokeen kysymyksiä ja poista kaikki epäilyt tästä sisällöstä.

Valintakokeet on ratkaistu

1) Unicamp - 2018

Olkoon a ja b todelliset luvut, niin että matriisi A = täyttää yhtälön A²= aA + bI, missä I on järjestyksen 2 identiteettimatriisi. Joten tuote ab on yhtä suuri kuin

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Katso Vastaus

Tuotteen a.b arvon selvittämiseksi meidän on ensin tiedettävä a ja b arvo. Tarkastellaan siis tehtävässä annettua yhtälöä.

Laske yhtälön ratkaisemiseksi A: n arvo², joka tehdään kertomalla matriisi A itsestään, eli:

Tämä toimenpide tehdään kertomalla ensimmäisen matriisin rivit toisen matriisin sarakkeilla, kuten alla on esitetty:

Tällä tavalla matriisi A² se on sama kuin:

Kun otetaan huomioon juuri löydetty arvo ja muistetaan, että identiteettimatriisissa päädiagonaalin elementit ovat yhtä suuria kuin 1 ja muut elementit ovat yhtä suuria kuin 0, yhtälö on:

Meidän on nyt kerrottava matriisi A luvulla a ja identiteettimatriisi luvulla b.

Muista, että kerrotaksesi luvun matriisilla, kerrotaan numero matriisin jokaisella elementillä.

Täten tasa-arvomme on yhtä suuri kuin:

Lisäämällä kaksi matriisia, meillä on:

Kaksi matriisia on yhtä suuri, kun kaikki vastaavat elementit ovat samat. Tällä tavalla voimme kirjoittaa seuraavan järjestelmän:

Eristetään a toisessa yhtälössä:

Korvaamalla ensimmäisestä yhtälöstä a: lle löydetyn arvon löydämme b: n arvon:

2 + b = 1
b = 1-2
b = -1

Siten tuotteen antaa:

. b = - 1. 2
. b = - 2

Vaihtoehto: a) −2.

2) Unesp - 2016

Pistettä P, jossa on ortogonaalisen suorakulmaisen tason koordinaatit (x, y), edustaa pylväsmatriisi. sekä sarakematriisi edustaa ortogonaalisessa suorakulmatasossa koordinaattien (x, y) pistettä P. Näin ollen matriisikertomuksen tulos on sarakematriisi, joka ortogonaalisessa suorakulmion tasossa edustaa välttämättä pistettä, joka on

a) P: n kiertäminen 180 astetta myötäpäivään ja keskipiste (0, 0).
b) P: n kiertäminen 90 ° vastapäivään, keskipiste (0, 0).
c) P: n symmetrinen vaaka-x-akselin suhteen.
d) P: n symmetrinen pystysuoran y-akselin suhteen.
e) P: n kiertäminen 90 astetta myötäpäivään ja keskipiste (0, 0).

Katso Vastaus

Pistettä P edustaa matriisi, niin että abcissa (x) on merkitty elementillä a.₁₁ ja ordinaatti (y) elementillä a₂₁ matriisin.

Pisteen P uuden sijainnin löytämiseksi meidän on ratkaistava esitettyjen matriisien kertolasku ja tulos on:

Tulos edustaa pisteen P uutta koordinaattia, eli absessi on yhtä suuri kuin -y ja ordinaatti on yhtä suuri kuin x.

Pisteen P sijainnin kautta tapahtuneen muunnoksen tunnistamiseksi edustetaan tilannetta suorakulmion tasossa alla esitetyllä tavalla:

Siksi piste P, joka aluksi sijaitsi ensimmäisessä kvadrantissa (positiivinen abskissa ja ordinaatti), siirtyi toiseen kvadranttiin (negatiivinen abskissa ja positiivinen ordinaatti).

Siirtyessään tähän uuteen kohtaan piste pyöritettiin vastapäivään, kuten yllä olevassa kuvassa näkyy punainen nuoli.

Meidän on vielä tunnistettava kiertokulman arvo.

Yhdistämällä pisteen P alkuperäinen sijainti suorakulmaisen akselin keskipisteeseen ja tekemällä sama sen uuden sijainnin P 'suhteen, meillä on seuraava tilanne:

Huomaa, että kuvassa esitetyt kaksi kolmiota ovat yhtenevät, toisin sanoen niillä on samat mitat. Tällä tavalla myös heidän kulmat ovat samat.

Lisäksi kulmat α ja θ täydentävät toisiaan, koska kolmioiden sisäisten kulmien summa on yhtä suuri kuin 180º ja koska kolmio on suorakulmainen, näiden kahden kulman summa on yhtä suuri kuin 90º.

Siksi kuvion β osoittama pisteen kiertokulma voi olla vain 90 °.

Vaihtoehto: b) P: n kiertäminen 90 ° vastapäivään, keskipiste (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Koska a on reaaliluku, harkitse matriisia A = . Joten²⁰¹⁷ se on sama kuin
)
B)
ç)
d)

Katso Vastaus

Yritetään ensin löytää malli voimille, koska matriisin A kertominen itsestään 2017 kertaa on paljon työtä.

Muista, että matriisikertomuksessa kukin elementti löydetään lisäämällä tulokset kertomalla yhden rivillä olevat elementit toisen sarakkeessa olevilla elementeillä.

Aloitetaan laskemalla A²:

Tuloksena oli identiteettimatriisi, ja kun kerrotaan mikä tahansa matriisi identiteettimatriisilla, tuloksena on itse matriisi.

Siksi A: n arvo³ on yhtä suuri kuin itse matriisi A, koska A³ = A². THE.

Tämä tulos toistetaan, ts. Kun eksponentti on parillinen, tulos on identiteettimatriisi ja kun se on pariton, se on itse matriisi A.

Koska 2017 on pariton, tulos on yhtä suuri kuin matriisi A.

Vaihtoehto: b)

4) UFSM - 2011

Annettu kaavio kuvaa tietyn ekosysteemin yksinkertaistettua ruokaketjua. Nuolet osoittavat lajin, jolla muut lajit ruokkivat. Kun määritetään arvo 1, kun yksi laji ruokkii toista, ja nolla, kun päinvastoin tapahtuu, meillä on seuraava taulukko:

Matriisi A = (a_ij)_4x4, joka liittyy taulukkoon, on seuraava koululaki:

Katso Vastaus

Koska rivin numero on merkitty i: llä ja sarakkeen numero j: llä, ja kun tarkastelemme taulukkoa, huomaamme, että kun i on yhtä suuri kuin j tai i on suurempi kuin j, tulos on nolla.

1: n sijainnit ovat niitä, joissa sarakkeen numero on suurempi kuin rivin numero.

Vaihtoehto: c)

5) Unesp - 2014

Tarkastellaan matriisiyhtälöä A + BX = X + 2C, jonka tuntematon on matriisi X ja kaikki matriisit ovat neliön suuruisia neliöitä. Tämän yhtälön välttämätön ja riittävä edellytys yhden ratkaisun saamiseksi on, että:

a) B - I ≠ O, missä I on järjestyksen n identiteettimatriisi ja O on järjestyksen n nullmatriisi.
b) B on käänteinen.
c) B ≠ O, jossa O on järjestyksen n nollamatriisi.
d) B - I on käänteinen, missä I on järjestyksen n identiteettimatriisi.
e) A ja C ovat käänteisiä.

Katso Vastaus

Matriisiyhtälön ratkaisemiseksi meidän on eristettävä X yhtäläisyysmerkin toiselle puolelle. Tätä varten vähennetään aluksi matriisi A molemmilta puolilta.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Vähennetään nyt X, myös molemmin puolin. Tässä tapauksessa yhtälö on:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A

Koska minä olen identiteettimatriisi, kerrotaan matriisi identiteetillä, tuloksena on itse matriisi.

Joten X: n eristämiseksi meidän on nyt kerrottava yhtälömerkin molemmat puolet (B-I): n käänteismatriisilla, ts.

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Muistaen, että kun matriisi on käänteinen, matriisin tulo käänteisellä on yhtä suuri kuin identiteettimatriisi.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Täten yhtälöllä on ratkaisu, kun B - I on käänteinen.

Vaihtoehto: d) B - I on käänteinen, missä I on järjestyksen n identiteettimatriisi.

6) Enem - 2012

Opiskelija merkitsi taulukoihin joidenkin oppiaineidensa kahden kuukauden välein antamat arvosanat. Hän totesi, että taulukon numeeriset merkinnät muodostivat 4x4-matriisin ja että hän pystyi laskemaan näiden tieteenalojen vuotuiset keskiarvot matriisien tuloksen avulla. Kaikilla testeillä oli sama paino, ja hänen saamansa taulukko on esitetty alla

Saadakseen nämä keskiarvot hän kertoi taulukosta saadun matriisin luvulla

Katso Vastaus

Aritmeettinen keskiarvo lasketaan lisäämällä kaikki arvot ja jakamalla arvojen lukumäärällä.

Siksi opiskelijan on lisättävä 4 bimesterin arvosanat ja jakamalla tulos 4: llä tai kertomalla kukin arvosana 1/4: llä ja lisäämällä kaikki tulokset.

Matriiseja käyttämällä voidaan saavuttaa sama tulos tekemällä matriisikertoja.

Meidän on kuitenkin muistettava, että kaksi matriisia voidaan kertoa vain, kun yhden sarakkeiden määrä on yhtä suuri kuin toisen rivien lukumäärä.

Koska nuottien matriisissa on 4 saraketta, matriisissa, jonka aiomme kertoa, on oltava 4 riviä. Siten meidän on kerrottava sarakematriisilla:

Vaihtoehto: ja

7) Fuvest - 2012

Harkitse matriisia , mistä on reaaliluku. Tietäen, että A myöntää käänteisen A: n^-1 jonka ensimmäinen sarake on , A: n päädiagonaalin elementtien summa^-1 se on sama kuin

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Katso Vastaus

Matriisin kertominen käänteisellä on yhtä suuri kuin identiteettimatriisi, joten voimme esittää tilanteen seuraavalla operaatiolla:

Ratkaisemalla ensimmäisen matriisin toisen rivin kertolasku toisen matriisin ensimmäisellä sarakkeella, meillä on seuraava yhtälö:

(1: een). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2.² - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2.² - 4. = 0
2. (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

Korvaamalla a-arvon matriisissa meillä on:

Nyt kun tiedämme matriisin, lasketaan sen determinantti:

Täten päädiagonaalin summa on yhtä suuri kuin 5.

Vaihtoehto: a) 5

Jos haluat lisätietoja, katso myös:

• Matriisit
• Määrittävät tekijät
• Sarruksen sääntö
• Laplacein lause
• Transponoitu matriisi