Pythagoraan lause: kaava ja harjoitukset

O Pythagoraan lause listaa suorakulmion sivujen pituuden. Tämä geometrinen kuvio muodostuu 90 °: n sisäisestä kulmasta, jota kutsutaan suoraksi kulmaksi.

Tämän lauseen lausunto on:

"Jalkojen neliöiden summa vastaa hypotenuusin neliötä."

Pythagoras-lauseen kaava

Pythagoraan lauseen lausunnon mukaan kaava on esitetty seuraavasti:

² = b² + c²

Oleminen,

: hypotenuse
B: kateto
ç: kateto

THE hypotenuusa on suorakulmion pisin sivu ja oikeaa kulmaa vastapäätä oleva sivu. Kaksi muuta puolta ovat jalat. Näiden kahden sivun muodostaman kulman mitta on 90º (suorakulma).

Tunnistimme myös jalat vertailukulman mukaan. Toisin sanoen sivua voidaan kutsua vierekkäiseksi tai vastakkaiseksi puoleksi.

Kun jalka on lähellä vertailukulmaa, sitä kutsutaan a vieressä, toisaalta, jos se on tätä kulmaa vastaan, sitä kutsutaan vastapäätä.

Alla on kolme esimerkkiä Pythagoraan lauseen sovelluksista suorakulmion metrisiin suhteisiin.

Esimerkki 1: laske hypotenuusin mitta

Jos suorakulmion jalkojen mitat ovat 3 cm ja 4 cm, mikä on tämän kolmion hypotenuus?

Siksi suorakulmion sivut ovat 3 cm, 4 cm ja 5 cm.

Esimerkki 2: lasketaan yhden jalan mitta

Määritä suoran kolmion osaan kuuluvan jalan mitat, jonka hypotenuus on 20 cm ja toinen jalka on 16 cm.

Siksi suorakulmion sivujen mitat ovat 12 cm, 16 cm ja 20 cm.

Esimerkki 3: tarkista onko kolmio suorakulmio

Kolmion sivut ovat 5 cm, 12 cm ja 13 cm. Mistä tiedät, onko se suorakulmio?

Oikean kolmion totuuden osoittamiseksi sen sivujen mittojen on oltava Pythagoraan lauseen mukaisia.

Koska annetut mitat tyydyttävät Pythagorasin lauseen, eli hypotenuusin neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliön summa, voimme sanoa, että kolmio on suorakulmio.

Lue myös: Metriset suhteet suorakulmion kolmiossa

Pythagoraan kolmio

Kun mittaa a suorakulmainen kolmio ovat positiivisia kokonaislukuja, kolmiota kutsutaan Pythagoraan kolmioksi.

Tällöin jalkoja ja hypotenuusia kutsutaan "Pythagorean puvuksi" tai "Pythagoraan trioksi". Tarkistamme, muodostavatko kolme numeroa Pythagoraan trion, suhteella² = b² + c².

Tunnetuinta pythagorolaista triota edustavat numerot: 3, 4, 5. Hypotenuusa on yhtä suuri kuin 5, suurempi jalka on 4 ja pienempi 3.

Huomaa, että kolmion kummallekin puolelle piirrettyjen neliöiden pinta-ala on samankaltainen kuin Pythagorasin lause: pitkän sivun neliön pinta-ala vastaa kahden muun alueen pinta-alaa neliö.

Mielenkiintoista on, että näiden lukujen kerrannaiset muodostavat myös Pythagoraan puvun. Esimerkiksi, jos kerrotaan trio 3, 4 ja 5 kolmella, saadaan numerot 9, 12 ja 15, jotka myös muodostavat Pythagoran puvun.

Pukujen 3, 4 ja 5 lisäksi on monia muita puvuja. Esimerkiksi voimme mainita:

• 5, 12 ja 13
• 7, 24, 25
• 20, 21 ja 29
• 12, 35 ja 37

Lue myös: Trigonometria suorakulmion kolmiossa

Kuka oli Pythagoras?

historian mukaan Samoksen Pythagoras (570 a. Ç. - 495 a. C.) oli kreikkalainen filosofi ja matemaatikko, joka perusti Etelä-Italiassa sijaitsevan Pythagorean koulun. Se tunnetaan myös nimellä Pythagorean Society, ja se sisälsi matematiikan, tähtitieteen ja musiikin opintoja.

Vaikka oikean kolmion metriset suhteet olivat jo tiedossa jo kauan ennen Pythagorasta asuneilla babylonialaisilla, ensimmäisen todisteen siitä, että tämä lause sovellettiin mihin tahansa suorakolmioon, uskotaan tekevän Pythagoras.

Pythagoraan lause on yksi tunnetuimmista, tärkeimmistä ja käytetyimmistä lauseista matematiikassa. Se on välttämätöntä analyyttisen geometrian, tasogeometrian, avaruusgeometrian ja trigonometrian ongelmien ratkaisemisessa.

Lauseen lisäksi Pythagorean matematiikan yhdistyksen muut tärkeät panokset olivat:

• Irrationaalisten lukujen löytäminen;
• Kokonaislukujen ominaisuudet;
• MMC ja MDC.

Lue myös: Matemaattiset kaavat

Todisteet Pythagoraan lauseesta

Pythagorasin lause voidaan todistaa useilla tavoilla. Esimerkiksi kirja Pythagoraan ehdotus, julkaistu vuonna 1927, esitti 230 tapaa osoittaa se, ja toinen vuonna 1940 julkaistu painos kasvoi 370 mielenosoitukseen.

Katso alla oleva video ja katso joitain mielenosoituksia Pythagoraan lauseesta.

Kuinka monta tapaa on todistaa Pythagoraan lause? - Betty Fei

Kommentoituja harjoituksia Pythagoraan lauseessa

Kysymys 1

(PUC) Suorakulmion kolmen sivun neliöiden summa on 32. Kuinka kauan kolmion hypotenuus on?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Katso Vastaus

Oikea vaihtoehto: b) 4.

Lausunnossa olevista tiedoista tiedämme, että² + b² + c² = 32. Toisaalta meidän on Pythagoras-lauseen mukaan² = b² + c² .

Korvataan b: n arvo²+ c² mukaan² ensimmäisestä lausekkeesta löydämme:

² +² =32 ⇒ 2.² = 32 ⇒ -² = 32/2 ⇒ -² = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4

Lisää kysymyksiä: Pythagoras-lause - Harjoitukset

kysymys 2

(Ja joko)

Yllä olevassa kuvassa, joka edustaa portaikon rakennetta, jossa on viisi saman korkeuden portaikkoa, kaiteen kokonaispituus on yhtä suuri kuin:

a) 1,9 m
b) 2,1 m
c) 2,0 m
d) 1,8 m
e) 2,2 m

Katso Vastaus

Oikea vaihtoehto: b) 2,1 m.

Kaiteen kokonaispituus on yhtä suuri kuin 30 cm: n pituisten kahden osan summa sen osion kanssa, jonka mittaamme ei tunneta.

Kuvasta voidaan havaita, että tuntematon osa edustaa suorakulmion hypotenuusia, jonka toisen jalan mitat ovat 90 cm.

Toisen jalan mitan löytämiseksi meidän on lisättävä 5 vaiheen pituus. Siksi meillä on b = 5. 24 = 120 cm.

Hypotenuusan laskemiseksi sovitetaan Pythagorasin lause tähän kolmioon.

² = 90² + 120² että² = 8100 + 14400 ⇒ -² = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm

Huomaa, että olisimme voineet käyttää Pythagorean pukujen ideaa hypotenuusin laskemiseen, koska jalat (90 ja 120) ovat 3, 4 ja 5 puvun kerrannaisia ​​(kertomalla kaikki termit 30: llä).

Tällä tavoin kaiteen kokonaismitta on:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m

Testaa tietosi Trigonometrian harjoitukset

kysymys 3

(UERJ) Millôr Fernandes kirjoitti kauniissa kunnianosoituksessa matematiikalle runon, josta poimimme alla olevan katkelman:

Niin monelle matematiikkakirjaan,
Quotient rakastui eräänä päivänä villisti
kirjoittanut tuntematon.
Hän katsoi häntä lukemattomalla katseellaan
ja hän näki hänet huipusta pohjaan: outo hahmo;
romboidit silmät, puolisuunnikkaan muotoinen suu,
suorakulmainen runko, pallomaiset rinnat.
Teit elämäsi rinnakkain hänen,
kunnes he tapasivat Infinityssä.
"Kuka sinä olet?" - Hän kysyi radikaalisessa ahdistuksessa.
”Olen jalkojen neliöiden summa.
Mutta voit kutsua minua hypotenuuseksi.”

(Millôr Fernandes. Kolmekymmentä vuotta itsestäni.)

Incognita oli väärässä sanoessaan kuka se oli. Pythagoras-lauseen täyttämiseksi on tehtävä seuraava

a) “Olen jalkojen summan neliö. Mutta kutsu minua hypotenuusin aukioksi. "
b) “Olen jalkojen summa. Mutta voit kutsua minua hypotenukseksi. "
c) “Olen jalkojen summan neliö. Mutta voit kutsua minua hypotenukseksi. "
d) “Olen jalkojen neliöiden summa. Mutta kutsu minua hypotenuusin aukioksi. "

Katso Vastaus

Vaihtoehto d) “Olen jalkojen neliöiden summa. Mutta kutsu minua hypotenuusin aukioksi. "

Lisätietoja aiheesta:

• tasakylkinen kolmio
• Sinus, kosini ja tangentti
• Matematiikka Enemissä