Yksinkertainen ja painotettu aritmeettinen keskiarvo

Tietojoukon aritmeettinen keskiarvo saadaan laskemalla yhteen kaikki arvot ja jakamalla löydetty arvo kyseisen joukon tietojoukkojen määrällä.

Sitä käytetään laajasti tilastoissa mittauksena keskitetysti.

Se voi olla yksinkertainen, kun kaikilla arvoilla on sama merkitys tai painotus, kun otetaan huomioon eri painoarvot tiedoille.

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo

Tämän tyyppinen keskiarvo toimii parhaiten, kun arvot ovat suhteellisen yhdenmukaiset.

Koska se on herkkä tiedoille, se ei aina tuota sopivimpia tuloksia.

Tämä johtuu siitä, että kaikilla tiedoilla on sama merkitys (paino).

Kaava

Missä,

M_s: yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo
x₁, x₂, x₃,..., x_ei: data-arvot
n: tietojen lukumäärä

Esimerkki:

Tietäen, että opiskelijan arvosanat olivat: 8,2; 7,8; 10,0; 9,5; 6,7, mikä on keskiarvo, jonka hän sai kurssilla?

Painotettu aritmeettinen keskiarvo

Painotettu aritmeettinen keskiarvo lasketaan kertomalla kukin datajoukon arvo sen painolla.

Etsi sitten näiden arvojen summa, joka jaetaan painojen summalla.

Kaava

Missä,

M_P: painotettu aritmeettinen keskiarvo
P₁, P₂,..., P_ei: painot
x₁, x₂,..., x_ei: data-arvot

Esimerkki:

Kun otetaan huomioon kunkin arvosanat ja painot, ilmoita keskiarvo, jonka opiskelija on saanut kurssilla.

aihe	Merkintä	Paino
Biologia	8,2	3
Filosofia	10,0	2
Fysiikka	9,5	4
maantiede	7,8	2
Historia	10,0	2
Portugalin kieli	9,5	3
Matematiikka	6,7	4

Lukea:

• Geometrinen keskiarvo
• Keskiarvo, muoti ja mediaani
• Varianssi ja keskihajonta

Kommentoi vihollisen harjoituksia

1. (ENEM-2012) Alla olevassa taulukossa esitetään viiden myytävänä olevan mikroyrityksen vuotuisen bruttotulon kehitys kolmen viime vuoden aikana.

MINÄ	2009 (tuhansina reaaleina)	2010 (tuhansina reaaleina)	2011 (tuhansina reaaleina)
Nastat V	200	220	240
W luoteja	200	230	200
Suklaat X	250	210	215
Pizzeria Y	230	230	230
Kudonta Z	160	210	245

Sijoittaja haluaa ostaa kaksi taulukossa luetelluista yrityksistä. Tätä varten se laskee kolmen viime vuoden (vuosina 2009--2011) keskimääräisen vuotuisen bruttotuoton ja valitsee kaksi yritystä, joilla on korkein vuotuinen keskiarvo.

Yritykset, jotka tämä sijoittaja haluaa ostaa, ovat:

a) Candy W ja Pizzeria Y.
b) Suklaat X ja Kudonta Z.
c) Pizzeria Y ja nastat V.
d) Pizzeria Y ja suklaat X.
e) Kudonta Z ja tapit V.

Katso Vastaus

Nastojen keskiarvo V = (200 + 220 + 240) / 3 = 220
Luodin keskiarvo W = (200 + 230 + 200) / 3 = 210
Suklaiden keskiarvo X = (250 + 210 + 215) / 3 = 225
Keskimääräinen pizzeria Y = (230 + 230 + 230) / 3 = 230
P-kudonnan keskiarvo Z = (160 + 210 + 245) / 3 = 205

Kaksi yritystä, joilla on keskimääräiset vuotuiset bruttotulot, ovat Pizzeria Y ja Chocolates X, vastaavasti 230 ja 225.

Vaihtoehto d: Pizzeria Y ja Suklaat X.

2. (ENEM-2014) Koulun tiedekilpailun päättyessä jäljellä oli vain kolme ehdokasta.

Sääntöjen mukaan voittaja on ehdokas, joka saa korkeimman painotetun keskiarvon kemian ja fysiikan loppukokeiden luokkien välillä ottaen huomioon vastaavasti heidän painonsa 4 ja 6. Muistiinpanot ovat aina kokonaislukuja.

Lääketieteellisistä syistä ehdokas II ei ole vielä suorittanut kemian loppukoketta. Arvioinnin soveltamispäivänä kahden muun ehdokkaan arvosanat on jo julkaistu.

Taulukossa näkyvät finalistien loppukokeissa saamat pisteet.

Ehdokas	Kemia	Fysiikka
Minä	20	23
II	x	25
III	21	18

Alin arvosana, jonka ehdokkaan II on saatava viimeisessä kemian kokeessa voittaakseen kilpailun, on:

a) 18
b) 19
c) 22
d) 25
e) 26

Katso Vastaus

Ehdokas I
Painotettu keskiarvo (MP) = (20 * 4 + 23 * 6) / 10
MP = (80 + 138) / 10
MP = 22

Ehdokas III
Painotettu keskiarvo (MP) = (21 * 4 + 18 * 6) / 10
MP = (84 + 108) / 10
MP = 19

Ehdokas II
Painotettu keskiarvo (MP) = (x * 4 + 25 * 6) / 10> 22
MP = (x * 4 + 25 * 6) / 10 = 22
4x + 150 = 220
4x = 70
x = 70/4
X = 17,5

Siten, koska arvosanat ovat aina kokonaislukuja, alin arvosana, jonka ehdokkaan II on saavutettava viimeisessä kemiankokeessa kilpailun voittamiseksi, on 18.

Vaihtoehto: 18.

Katso myös:

• Tilastotiedot
• Tilastot - Harjoitukset
• Keskihajonta
• Dispersiotoimenpiteet