PA ja PG: yhteenveto, kaavat ja harjoitukset

THE aritmeettinen eteneminen - PA on arvosarja, jolla on vakioero peräkkäisten numeroiden välillä.

THE geometrinen eteneminen - PG näyttää numerot samalla osamäärällä jaettaessa kaksi peräkkäistä termiä.

Vaikka aritmeettisessa etenemisessä termit saadaan lisäämällä edeltäjälle yhteinen ero, a: n ehdot geometriset etenemiset löytyvät kertomalla suhde sarjan viimeisellä luvulla, jolloin saadaan termi seuraaja.

Alla on yhteenveto kahdesta progressiotyypistä.

Aritmeettinen eteneminen (AP)

Aritmeettinen eteneminen on sarja, joka muodostuu termeistä, jotka eroavat toisistaan ​​vakioarvolla, jota kutsutaan suhteeksi, joka lasketaan seuraavasti:

Missä,

r on BP: n syy;
₂ on toinen termi;
₁ on ensimmäinen termi.

Siksi aritmeettisen etenemisen ehdot voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Huomaa, että PA: ssa ei termit yleisen termin kaava (_ei) sekvenssi on:

_ei =₁ + (n - 1) r

Joitakin erityistapauksia ovat: 3-termistä AP: tä edustaa (x - r, x, x + r) ja 5-termisen AP: n komponentteja edustavat (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

PA-tyypit

Suhdearvon mukaan aritmeettiset etenemiset luokitellaan 3 tyyppiin:

1. Jatkuva: kun suhde on yhtä suuri kuin nolla ja BP-ehdot ovat samat.

Esimerkki: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), jossa r = 0

2. Kasvava: kun suhde on suurempi kuin nolla ja termi toisesta on suurempi kuin edellinen;

Esimerkki: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), jossa r = 2

3. laskeva: kun suhde on pienempi kuin nolla ja termi toisesta on pienempi kuin edellinen.

Esimerkki: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), missä r = - 2

Aritmeettiset etenemiset voidaan edelleen luokitella äärellinen, kun heillä on tietty määrä termejä, ja ääretön, eli loputtomin ehdoin.

Maksusopimuksen ehdot

Aritmeettisen etenemisen ehtojen summa lasketaan kaavalla:

Missä, ei on sarjan termien lukumäärä, ₁ on ensimmäinen termi ja _ei on n. termi. Kaavasta on hyötyä sellaisten kysymysten ratkaisemiseen, joissa annetaan ensimmäinen ja viimeinen termi.

Kun ongelmalla on ensimmäinen termi ja BP-syy, voit käyttää kaavaa:

Näitä kahta kaavaa käytetään lopullisen BP: n termien lisäämiseen.

PA: n keskimääräinen toimikausi

Pariton lukumäärän sisältävän BP: n keskiarvon tai keskitermin määrittämiseksi laskemme aritmeettisen keskiarvon ensimmäisellä ja viimeisellä termillä (a₁ ja_ei):

Keskimääräinen termi PA: n kolmen peräkkäisen numeron välillä vastaa edeltäjän ja seuraajan aritmeettista keskiarvoa.

Ratkaistu esimerkki

Koska PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) määritä suhde, keskimääräinen termi ja termien summa.

1. PA syy

2. keskipitkällä aikavälillä

3. ehtojen summa

Lisätietoja aritmeettinen eteneminen.

Geometrinen eteneminen (PG)

Geometrinen eteneminen muodostuu, kun sekvenssillä on kerrannaiskerroin, joka saadaan jakamalla kaksi peräkkäistä termiä, nimeltään yhteinen suhde, joka lasketaan seuraavasti:

Missä,

mitä on syy PG: lle;
₂ on toinen termi;
₁ on ensimmäinen termi.

Geometrinen eteneminen ei termit voidaan esittää seuraavasti:

Oleminen ₁ ensimmäisellä termillä PG: n yleinen termi lasketaan ₁.q^(ei-1).

PG-tyypit

Suhteen (q) arvon mukaan voimme luokitella geometriset progressiot 4 tyyppiin:

1. Kasvava: suhde on aina positiivinen (q> 0) ja termit kasvavat;

Esimerkki: PG: (3, 9, 27, 81, ...), jossa q = 3.

2. laskeva: suhde on aina positiivinen (q> 0), ei nolla (0), ja termit vähenevät;

Esimerkki: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), jossa q = 3

3. värähtelevä: syy on negatiivinen (q

Esimerkki: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96,…), missä q = - 2

4. Jatkuva: suhde on aina yhtä suuri kuin 1 ja termeillä on sama arvo.

Esimerkki: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), missä q = 1

PG: n ehtojen summa

Geometrisen etenemisen summa lasketaan kaavalla:

Oleminen ₁ ensimmäinen termi, mitä yhteinen syy ja ei termien lukumäärä.

Jos PG-suhde on alle 1, käytämme seuraavaa kaavaa termien summan määrittämiseen.

Näitä kaavoja käytetään rajalliseen PG: hen. Jos pyydetty summa on ääretön PG, käytetty kaava on:

PG: n keskimääräinen termi

Pariton määrä termejä sisältävän PG: n keskiarvon tai keskitermin määrittämiseksi laskemme geometrisen keskiarvon ensimmäisellä ja viimeisellä termillä (a₁ ja_ei):

Ratkaistu esimerkki

Koska PG (1, 3, 9, 27 ja 81) määrittelee suhteen, keskimääräisen aikavälin ja ehtojen summan.

1. PG syy

2. keskipitkällä aikavälillä

3. ehtojen summa

Lisätietoja geometrinen eteneminen.

Yhteenveto PA- ja PG-kaavoista

aritmeettinen eteneminen	Geometrinen eteneminen
Syy
yleinen termi
keskipitkällä aikavälillä
äärellinen summa
ääretön summa

Lisätietoja numerosekvenssit.

Harjoitukset PA: lle ja PG: lle

Kysymys 1

Mikä on sekvenssin 16. termi, joka alkaa numerosta 3 ja jonka BP-suhde on 4?

a) 36
b) 52
c) 44
d) 63

Katso Vastaus

Oikea vaihtoehto: d) 63.

Koska PA: n suhde on vakio, voimme löytää toisen sarjan termistä lisäämällä suhteen ensimmäiseen lukuun.

₂ =₁ + r

₂ = 3 + 4

₂ = 7

Siksi voimme sanoa, että tämän sekvenssin muodostaa (3, 7, 11, 15, 19, 23,…)

16. termi voidaan laskea yleisen termikaavan avulla.

_ei =₁ + (n - 1). r

₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

₁₆ = 3 + 15.4

₁₆ = 3 + 60

₁₆ = 63

Siksi vastaus kysymykseen on 63.

kysymys 2

Mikä on kuuden aikavälin AP suhde, jonka sekvenssin kolmen ensimmäisen luvun summa on 12 ja kaksi viimeistä yhtä kuin 34?

a) 7
b) - 6
c) - 5
d) 5

Katso Vastaus

Oikea vaihtoehto: b) - 6.

Aritmeettisen etenemisen ehtojen yleinen kaava on₁, (a₁ + r), (a₁ + 2r),..., {a₁ + (n-1) r}. Siksi kolmen ensimmäisen termin summa voidaan kirjoittaa seuraavasti:

₁ + (₁ + r) + (a₁ + 2r) = 12
3.₁ + 3r = 12
3.₁ = 12 - 3r
₁ = (12 - 3r) / 3
₁ = 4 - r

Kahden viimeisen termin summa on:

(₁ + 4r) + (a₁ + 5r) = - 34
2.₁ + 9r = - 34

Nyt vaihdamme₁ mennessä 4 - r.

2 (4 - r) + 9r = - 34
8 - 2r + 9r = - 34
7r = - 34 - 8
7r = - 42
r = - 42/7
r = - 6

Siksi PG-suhde on - 6.

kysymys 3

Jos GP: n kolmas luku on 28 ja neljäs luku on 56, mitkä ovat tämän geometrisen etenemisen viisi ensimmäistä termiä?

a) 6, 12, 28, 56, 104
b) 7, 18, 28, 56, 92
c) 5, 9, 28, 56, 119
d) 7, 14, 28, 56, 112

Katso Vastaus

Oikea vaihtoehto: d) 7, 14, 28, 56, 112

Ensinnäkin meidän on laskettava tämän PG: n suhde. Tätä varten käytämme kaavaa:

₄ =₃. mitä
56 = 28. mitä
56/28 = q
q = 2

Nyt laskemme 5 ensimmäistä termiä. Aloitamme₁ käyttämällä yleisen termin kaavaa.

_ei =₁. mitä^(n-1)
₃ =₁ . mitä^(3-1)
28 =₁. 2²
₁ = 28/ 4 = 7

Loput termit voidaan laskea kertomalla ennakkotermi suhteella.

₂ =₁.q
₂ = 7. 2
₂ = 14

₅ =₄. mitä
₅ = 56. 2
₅ = 112

Siksi PG: n ensimmäiset 5 termiä ovat:

1. vaalikausi: 7
2. vaalikausi: 14
3. vaalikausi: 28
4. vaalikausi: 56
5. vaalikausi: 112

Katso myös muita harjoituksia harjoitellaksesi:

• Harjoitukset aritmeettiselle etenemiselle
• Geometrisen etenemisen harjoitukset