Lukion yhtälö: kommentoidut harjoitukset ja kilpailukysymykset

Yksi toisen asteen yhtälö on koko yhtälö muodossa kirves² + bx + c = 0, a, b ja c reaaliluvuilla ja a ≠ 0. Voit ratkaista tämän tyyppisen yhtälön käyttämällä erilaisia ​​menetelmiä.

Käytä alla olevien harjoitusten kommentoituja päätöslauselmia poistaaksesi kaikki epäilyt. Testaa tietosi myös ratkaistavilla kilpailukysymyksillä.

Kommentoidut harjoitukset

Harjoitus 1

Äitini ikä kerrottuna iällä on 525. Jos äitini oli syntyessään 20 vuotta vanha, kuinka vanha olen?

Ratkaisu

Ottaen huomioon ikäni yhtä x, voimme sitten katsoa, ​​että äitini ikä on sama x + 20. Mistä tiedämme aikamme tuotteen arvon, sitten:

x. (x + 20) = 525

Kertomisen jakeluominaisuuksiin soveltaminen:

x² + 20 x - 525 = 0

Sitten saavutetaan täydellinen 2. asteen yhtälö, jossa a = 1, b = 20 ja c = - 525.

Lasketaan yhtälön juuret, ts. X: n arvot, joissa yhtälö on nolla, käytetään Bhaskaran kaavaa.

Ensin meidän on laskettava ∆: n arvo:

Juurien laskemiseksi käytämme:

Korvaamalla arvot yllä olevaan kaavaan löydämme yhtälön juuret, kuten tämä:

Koska ikäni ei voi olla negatiivinen, halveksimme arvoa -35. Joten tulos on 15 vuotta.

Harjoitus 2

Neliöllä, joka on esitetty alla olevassa kuvassa, on suorakulmainen muoto ja sen pinta-ala on 1 350 m². Määritä neliön mitat tietäen, että sen leveys vastaa 3/2 sen korkeutta.

Ratkaisu

Ottaen huomioon, että sen korkeus on yhtä suuri kuin x, leveys on sitten yhtä suuri kuin 3 / 2x. Suorakulmion pinta-ala lasketaan kertomalla sen pohja korkeusarvolla. Tässä tapauksessa meillä on:

Saavutamme epätäydellisen toisen asteen yhtälön, jossa a = 3/2, b = 0 ja c = - 1350, voimme laskea tämäntyyppisen yhtälön eristämällä x: n ja laskemalla neliöjuuren arvon.

Koska x: n arvo edustaa korkeuden mittaa, jätämme huomiotta arvon - 30. Suorakulmion korkeus on siis 30 m. Laskettaessa leveys kerrotaan tämä arvo 3/2: llä:

Siksi neliön leveys on yhtä suuri kuin 45 m ja sen korkeus on yhtä suuri kuin 30 m.

Harjoitus 3

Joten x = 1 on yhtälön 2ax juuri² + (2.² - a - 4) x - (2 + a²) = 0, a: n arvojen tulisi olla:

a) 3 ja 2
b) - 1 ja 1
c) 2 ja - 3
d) 0 ja 2
e) - 3 ja - 2

Ratkaisu

A-arvon löytämiseksi korvataan ensin x luvulla 1. Näin yhtälö näyttää tältä:

2.a.1² + (2.² - - 4). 1-2 - a² = 0
2. + 2² - to - 4 - 2 - to² = 0
² + - - 6 = 0

Nyt meidän on laskettava täydellisen toisen asteen yhtälön juuri, jota varten käytämme Bhaskaran kaavaa.

Siksi oikea vaihtoehto on kirjain C.

Kilpailukysymykset

1) Epcar - 2017

Tarkastellaan yhtälössä ℝ yhtälöä (m+2) x² - 2mx + (m - 1) = 0 muuttujassa x, missä m on muu reaaliluku kuin - 2.

Tarkista alla olevat lausunnot ja arvioi ne arvoksi V (TOSI) tai F (EPÄTOSI).

() Kaikkien m> 2: n osalta yhtälössä on tyhjä ratkaisujoukko.
() Yhtälössä on kaksi m: n todellista arvoa yhtäläisten juurien hyväksymiseksi.
() Jos ∆> 0, yhtälössä m voi olettaa vain positiiviset arvot.

Oikea järjestys on

a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F

Katso Vastaus

Katsotaanpa kutakin lausuntoa:

Kaikille m> 2 yhtälössä on tyhjä ratkaisujoukko

Koska yhtälö on toisen asteen in: ssä, sillä ei ole ratkaisua, kun delta on pienempi kuin nolla. Tätä arvoa laskettaessa meillä on:

Joten ensimmäinen väite on totta.

M: llä on kaksi todellista arvoa yhtälön ottamiseksi huomioon yhtäläiset juuret.

Yhtälöllä on yhtä suuret todelliset juuret, kun Δ = 0, ts.

- 4m + 8 = 0
m = 2

Siksi lausunto on väärä, koska m: n arvoja on vain yksi, jos juuret ovat todellisia ja yhtäläisiä.

Jos ∆> 0, yhtälössä m voi ottaa vain positiivisia arvoja.

Jos Δ> 0, meillä on:

Koska loputtomien reaalilukujen joukossa on negatiivisia lukuja alle 2, lauseke on myös väärä.

Vaihtoehto d: V-F-F

2) Coltec - UFMG - 2017

Lauran on ratkaistava toisen asteen yhtälö kodissa, mutta tajuaa, että kopioidessaan taululta muistikirjaan hän unohti kopioida x-kertoimen. Yhtälön ratkaisemiseksi hän kirjasi sen seuraavasti: 4x² + kirves + 9 = 0. Koska hän tiesi, että yhtälöllä oli vain yksi ratkaisu, ja tämä oli positiivinen, hän pystyi määrittämään a: n arvon, joka on

a) - 13
b) - 12
c) 12
d) 13

Katso Vastaus

Kun toisen asteen yhtälöllä on yksi ratkaisu, delta Bhaskaran kaavasta on yhtä suuri kuin nolla. Joten löytää arvo , laske vain delta, vastaamalla sen arvo nollaan.

Joten jos a = 12 tai a = - 12, yhtälöllä on vain yksi juuri. Meidän on kuitenkin vielä tarkistettava, minkä arvoista tuloksena on positiivinen juuri.

Siksi löydetään juuri, arvoille .

Joten yhtälöllä a = -12 on vain yksi juuri ja positiivinen.

Vaihtoehto b: -12

3) Enem - 2016

Tunneli on suljettava betonikannella. Tunnelin ja betonikatteen poikkileikkauksella on paraabelikaaren muodot ja samat mitat. Työn kustannusten määrittämiseksi insinöörin on laskettava kyseisen parabolisen kaaren alla oleva pinta-ala. Käyttämällä vaakasuoraa akselia maanpinnan tasolla ja parabolan symmetria-akselia pystysuorana akselina hän sai seuraavan parabolan yhtälön:
y = 9 - x², jossa x ja y mitataan metreinä.
Tiedetään, että tällaisen parabolan alla oleva alue on yhtä suuri kuin 2/3 suorakulmion pinta-alasta, jonka mitat ovat vastaavasti tunnelin sisäänkäynnin pohjan ja korkeuden kanssa.
Mikä on betonipäällysteen etuosan pinta-ala neliömetreinä?

a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54

Katso Vastaus

Tämän ongelman ratkaisemiseksi meidän on löydettävä tunnelin sisäänkäynnin pohjan ja korkeuden mittaukset ongelma kertoo meille, että etuosan pinta-ala on 2/3 suorakulmion pinta-alasta näillä mitoilla.

Nämä arvot löytyvät annetusta 2. asteen yhtälöstä. Tämän yhtälön parabolissa on koveruus alaspäin, koska kerroin on negatiivinen. Alla on tämän vertauksen pääpiirteet.

Kaaviosta voimme nähdä, että tunnelin pohjan mitat löytyvät laskemalla yhtälön juuret. Jo sen korkeus on yhtä suuri kuin kärjen mitta.

Juurien laskemiseksi havaitaan, että yhtälö 9 - x² on epätäydellinen, joten voimme löytää sen juuret yhtälö yhtälön nollaan ja eristämällä x:

Siksi tunnelin pohjan mittaus on yhtä suuri kuin 6 m, eli kahden juuren välinen etäisyys (-3 ja 3).

Käyrää tarkasteltaessa näemme, että kärkipiste vastaa y-akselin arvoa, että x on nolla, joten meillä on:

Nyt kun tunnemme tunnelin pohjan ja korkeuden mitat, voimme laskea sen pinta-alan:

Vaihtoehto c: 36

4) Cefet - RJ - 2014

Minkä arvon "a" yhtälöllä (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 on kaksi juurta ja yhtä suuri?

1: een
b) 0
c) 1
d) 2

Katso Vastaus

Jotta toisen asteen yhtälöllä olisi kaksi yhtä suurta juurta, on välttämätöntä, että Δ = 0, toisin sanoen b²-4ac = 0. Ennen deltan laskemista meidän on kirjoitettava yhtälö akselimuotoon² + bx + c = 0.

Voimme aloittaa soveltamalla jakeluomaisuutta. Huomaa kuitenkin, että (x - 2) toistetaan molemmilla termeillä, joten laitetaan se todisteeksi:

(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (kirves -2) = 0

Jaamme tuotetta nyt:

kirves² - 2x - 2ax + 4 = 0

Laskemalla Δ ja yhtä suuri kuin nolla, löydämme:

Joten kun a = 1, yhtälöllä on kaksi yhtä suurta juurta.

Vaihtoehto c: 1

Jos haluat lisätietoja, katso myös:

• Toisen asteen yhtälö
• Ensimmäisen asteen yhtälö
• Toissijainen funktio
• Nopeusfunktio - Harjoitukset
• Lineaarinen toiminto
• Liittyvät toimintaharjoitukset