Kolmioiden samankaltaisuus: kommentoidut ja ratkaistut harjoitukset

THE kolmion kaltainen käytetään etsimään yhden kolmion tuntematon mitta tuntemalla toisen kolmion mitat.

Kun kaksi kolmiota ovat samanlaisia, niiden vastaavien sivujen mitat ovat verrannollisia. Tätä suhdetta käytetään monien geometrian ongelmien ratkaisemiseen.

Joten hyödynnä kommentoituja ja ratkaistuja harjoituksia ratkaistaksesi kaikki epäilyt.

Ongelmat ratkaistu

1) Merimiehen oppipoika - 2017

Katso alla oleva kuva

Rakennus heittää 30 metrin pituisen varjon maahan samalla hetkellä kuin 6 m pitkä henkilö heittää 2,0 m varjon. Voidaan sanoa, että rakennuksen korkeus on arvoinen

a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

Katso Vastaus

Voimme ajatella, että rakennus, sen heijastama varjo ja auringon säde muodostavat kolmion. Samoin meillä on myös kolmio, jonka muodostavat henkilö, hänen varjonsa ja auringon säde.

Ottaen huomioon, että auringon säteet ovat yhdensuuntaiset ja että rakennuksen sekä maan ja ihmisen välinen kulma on maa on yhtä suuri kuin 90º, alla olevassa kuvassa esitetyt kolmiot ovat samanlaisia ​​(kaksi kulmaa yhtä suuri).

Koska kolmiot ovat samanlaisia, voimme kirjoittaa seuraavan osuuden:

Vaihtoehto: a) 27 m

2) Fuvest - 2017

Kuvassa suorakulmion ABCD sivut ovat pituudeltaan AB = 4 ja BC = 2. Olkoon M sivun keskipiste ja N sivun keskipiste . Segmentit siepata segmentti pisteissä E ja F vastaavasti.

Kolmion AEF pinta-ala on yhtä suuri kuin

Katso Vastaus

Kolmion AEF pinta-ala löytyy laskemalla kolmion ABE pinta-ala kolmion AFB pinta-alasta, kuten alla on esitetty:

Aloitetaan etsimällä AFB-kolmion alue. Tätä varten meidän on selvitettävä tämän kolmion korkeusarvo, koska perusarvo tunnetaan (AB = 4).

Huomaa, että kolmiot AFB ja CFN ovat samanlaisia, koska niillä on kaksi yhtä suurta kulmaa (tapaus AA), kuten alla olevassa kuvassa näkyy:

Piirretään korkeus H₁, suhteessa sivuun AB, kolmiossa AFB. Koska sivun CB mitta on yhtä suuri kuin 2, voidaan katsoa, ​​että sivun NC suhteellinen korkeus kolmiossa FNC on yhtä suuri kuin 2 - H₁.

Voimme sitten kirjoittaa seuraavan osuuden:

Kun tiedämme kolmion korkeuden, voimme laskea sen pinta-alan:

Kolmion ABE pinta-alan löytämiseksi sinun on myös laskettava sen korkeusarvo. Tätä varten käytämme sitä, että alla olevassa kuvassa esitetyt ABM- ja AOE-kolmiot ovat samanlaisia.

Lisäksi kolmio OEB on suorakulmainen ja kaksi muuta kulmaa ovat yhtä suuret (45º), joten se on tasakylkinen kolmio. Siten tämän kolmion kaksi jalkaa ovat H: n arvoisia₂, kuten alla olevassa kuvassa:

Siten kolmion AOE sivu AO on yhtä suuri kuin 4 - H_2. Näiden tietojen perusteella voimme ilmoittaa seuraavan osuuden:

Kun tiedämme korkeusarvon, voimme nyt laskea kolmion ABE pinta-alan:

Täten kolmion AFE pinta-ala on yhtä suuri kuin:

Vaihtoehto: d)

3) Cefet / MG - 2015

Seuraava kuva kuvaa suorakulmaista biljardipöytää, jonka leveys ja pituus ovat vastaavasti 1,5 ja 2,0 m. Pelaajan täytyy heittää valkoinen pallo pisteestä B ja lyödä musta pallo pisteeseen P lyömättä ensin mitään muuta. Koska keltainen on kohdassa A, tämä pelaaja heittää valkoisen pallon pisteeseen L, jotta se voi pomppia ja törmätä mustaan ​​palloon.

Jos pöydän puolella olevan pallon iskutien kulma ja pomppimiskulma ovat samat, kuten kuvassa on esitetty, etäisyys P: stä Q: seen, cm, on noin

a) 67
b) 70
c) 74
d) 81

Katso Vastaus

Kolmio, joka on merkitty punaisella alla olevassa kuvassa, on samanlainen, koska niillä on kaksi yhtä suurta kulmaa (kulma on yhtä suuri kuin α ja kulma on yhtä suuri kuin 90 °).

Siksi voimme kirjoittaa seuraavan osuuden:

Vaihtoehto: a) 67

4) Sotilasopisto / RJ - 2015

Kolmiossa ABC pisteet D ja E kuuluvat vastaavasti sivuille AB ja AC ja ovat sellaisia, että DE / / BC. Jos F on AB: n piste siten, että EF / / CD ja AF: n ja FD e: n mittaukset ovat vastaavasti 4 ja 6, segmentin DB mittaus on:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

Katso Vastaus

Voimme edustaa kolmiota ABC, kuten alla on esitetty:

Koska segmentti DE on yhdensuuntainen BC: n kanssa, kolmiot ADE ja ABC ovat samanlaisia, koska niiden kulmat ovat yhtenevät.

Voimme sitten kirjoittaa seuraavan osuuden:

Kolmiot FED ja DBC ovat myös samanlaisia, koska segmentit FE ja DC ovat yhdensuuntaiset. Näin ollen myös seuraava osuus on totta:

Eristämällä y tässä suhteessa meillä on:

Y-arvon korvaaminen ensimmäisessä yhtälössä:

Vaihtoehto: a) 15

5) Epcar - 2016

Suorakolmion muotoinen maa jaetaan kahteen osaan aitauksella, joka on tehty hypotenuusan puolittimelle kuvan osoittamalla tavalla.

Tiedetään, että tämän maaston sivut AB ja BC ovat vastaavasti 80 m ja 100 m. Siten erän I kehän ja erän II kehän suhde tässä järjestyksessä on

Katso Vastaus

Kehän välisen suhteen selvittämiseksi meidän on tiedettävä kuvan I ja kuvan II kaikkien sivujen arvo.

Huomaa, että hypotenuusin puolittaja jakaa BC-puolen kahteen yhtenevään segmenttiin, joten CM- ja MB-segmentit ovat 50 m.

Koska kolmio ABC on suorakulmio, voimme laskea sivun AC Pythagoraan lauseen avulla. Huomaa kuitenkin, että tämä kolmio on Pythagoraan kolmio.

Siten hypotenuusa on yhtä suuri kuin 100 (5. 20) ja toinen kaksi jalkaa on yhtä suuri kuin 80 (4,20), toinen jalka voi olla yhtä suuri kuin 60 (3,20).

Tunnistimme myös, että kolmiot ABC ja MBP ovat samanlaisia ​​(tapaus AA), koska niillä on yhteinen kulma ja toisella yhtä suuri kuin 90º.

Joten x: n arvon löytämiseksi voimme kirjoittaa seuraavan osuuden:

Z: n arvo löytyy suhteesta:

Voimme myös löytää y: n arvon tekemällä:

Nyt kun tunnemme kaikki puolet, voimme laskea kehät.

Kuvan I kehä:

Kuvan II kehä:

Siksi kehien välinen suhde on yhtä suuri kuin:

Vaihtoehto: d)

6) Enem - 2013

Tilan omistaja haluaa laittaa tukitangon kiinnittämään paremmin kaksi pylvästä, joiden pituus on 6 m ja 4 m. Kuva kuvaa todellista tilannetta, jossa pylväät kuvataan segmenteillä AC ja BD sekä tangolla edustaa EF-segmentti, joka on kohtisuorassa maahan nähden, mikä osoitetaan suoraviivaisella segmentillä AB. Segmentit AD ja BC edustavat asennettavia teräskaapeleita.

Mikä pitäisi olla tangon pituuden arvo EF?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m

Katso Vastaus

Ongelman ratkaisemiseksi kutsutaan varren korkeutta z ja AF: n ja FB: n segmenttien mittaukset x ja yvastaavasti, kuten alla on esitetty:

Kolmio ADB on samanlainen kuin kolmio AEF, koska molemmilla on 90 ° kulma ja yhteinen kulma, joten ne ovat samanlaisia ​​AA-tapauksessa.

Siksi voimme kirjoittaa seuraavan osuuden:

Kertomalla "ristissä" saadaan tasa-arvo:

6x = h (x + y) (I)

Toisaalta myös kolmiot ACB ja FEB ovat samanlaisia ​​edellä esitetyistä samoista syistä. Joten meillä on osuus:

Ratkaisu samalla tavalla:

4y = h (x + y) (II)

Huomaa, että yhtälöillä (I) ja (II) on sama lauseke yhtälömerkin jälkeen, joten voimme sanoa, että:

6x = 4v

Korvaa x: n arvo toisessa yhtälössä:

Vaihtoehto: c) 2,4 m

7) Fuvest - 2010

Kuvassa kolmio ABC on suorakaiteen muotoinen ja sivut BC = 3 ja AB = 4. Lisäksi piste D kuuluu solisluuhun. , solisluun piste E ja piste F kuuluu hypotenuusiin , niin että DECF on suuntainen. jos , joten DECF-rinnakkaispinta-alan arvo on

Katso Vastaus

Rinnan suuntainen alue saadaan kertomalla perusarvo korkeudella. Kutsutaan h korkeudeksi ja x perusmitaksi alla olevan kuvan mukaisesti:

Koska DECF on suuntainen, sen sivut ovat yhdensuuntaiset kaksi kerrallaan. Tällä tavalla puolet AC ja DE ovat yhdensuuntaiset. Joten kulmat ne ovat samat.

Sitten voimme tunnistaa, että kolmiot ABC ja DBE ovat samanlaisia ​​(tapaus AA). Meillä on myös, että kolmion ABC hypotenuus on yhtä suuri kuin 5 (kolmio 3,4 ja 5).

Tällä tavalla kirjoitetaan seuraava osuus:

Pohjan mitan x löytämiseksi tarkastelemme seuraavaa osuutta:

Laskettaessa suunnansuunta-aluetta meillä on:

Vaihtoehto: a)