O joukko irrationaalisia lukuja muodostuu luvuista, jotka ei voida edustaa nimellä jakeet. Joissakin tilanteissa rationaalilukujoukko ei riittänyt ongelmien ratkaisemiseen, silloin havaittiin irrationaalisten numeroiden olemassaolo, kuten epätarkat juuret, ei-jaksolliset kymmenykset,π, muiden välillä.
Lue myös: Mikä on numeron arvo?
Joukko irrationaalisia lukuja
Koko historian ajan sovellettaessa Pythagoraan lause suoran kolmion sivuilla, joiden mitat ovat 1, vastaus todettiin olevan yhtä suuri kuin luvun 2 juuri.
Osoittautuu, että tämä näennäisen yksinkertainen vastaus mahdollisti uuden löytämisen numeerinen joukko. Yrittäessään löytää vastauksen tähän lähde neliö- / 2, löysi yhden desimaaliluku tunnetaan ei-säännöllinen kymmenys, mikä on mahdotonta edustaa murtolukuna. Tämän vuoksi oli välttämätöntä luoda uusi joukko irrationaalisia, koska siihen asti kaikki luvut olivat järkeviä (jotka voidaan kirjoittaa murto-osina).
Irrationaalilukujoukko koostuu kaikista luvuista ei voidaan kirjoittaa murtolukuna. |
Mitä ovat irrationaaliset luvut?
Jotta lukua voidaan pitää irrationaalisena, sen on kunnioitettava määritelmää, toisin sanoen sitä ei voida esittää murtolukuna. Nämä numerot ovat epätarkat juuret, osoitteessa kymmenykset ja joitain erikoistapauksia, kuten vakio π (lue: pi) tai luku ɸ (lue: fi), mm.
Juuret eivät ole tarkkoja
Kun luku ei ole täydellinen neliö, se tunnetaan epätarkkana juurena. Katso joitain esimerkkejä:
ei-jaksolliset kymmenykset
Näitä juuria ratkaistessa vastaus on aina likiarvo, jota me kutsumme ei-jaksollisiksi kymmenyksiksi.
Huomaa, että desimaaliosa on ääretön ja että ei ole jaksoa eli sekvenssiä, joka aiheuttaa voimme ennustaa seuraavan luvun desimaaliosassa, ja siksi kutsumme tätä numeroa desimaaliksi määräajoin. Ei vain epätarkkojen juurien tuottamat desimaalit, mutta mikä tahansa ei-jaksollinen desimaali on irrationaalinen luku.
muut irrationaaliset luvut
• Luku π: on melko yleinen laskettaessa käyriä, kuten pinta-ala ja pituus ympärysmitta tai sylinterien tilavuus ja käpyjä, ja on yksi tunnetuimmista irrationaalisista luvuista. Koska se on irrationaalinen, käytämme symbolia sen edustamiseen, mutta π on ei-jaksollinen desimaali, se on sinun arvo on yhtä suuri kuin 3.14159265358979323846... Useat tämän numeron paikat tunnetaan, mutta käytämme yleensä likiarvoa, jonka arvo on 3.14.
• Numero ɸ: tunnetaan myös nimellä kultainen numero ja sitä on tutkittu antiikin ajoista lähtien, kuvailemalla erilaisia luonnonilmiöitä, kuten kanipopulaatioiden lisääntymistä. Tämän osuuden käytöstä taiteellisissa töissä on myös raportti. Se on myös irrationaaliluku, joten sitä edustaa symboli ɸ, sen arvo on: 1.61803398875…
• Eulerin vakio: käytetään ilmiöihin, joihin liittyy talousmatematiikkaja muun muassa biologian, tähtitieteen aloilla. Se on myös irrationaalinen luku, ja siksi sitä edustaa symboli ja, jonka arvo on: 2,718281828459045235360…
Katso myös: Pääluvut - luonnollinen luku, jolla on vain kaksi jakajaa
järkevä ja irrationaalinen luku
On käynyt ilmi, että mikä tahansa numero voidaan luokitella järkeväksi tai irrationaaliseksi. Suoraan, O järkevä luku on jokainen luku, joka voidaan kirjoittaa murto-osana. Tarkat desimaalit, jaksolliset desimaalit, kokonaisluvut ovat rationaalilukuja. Irrationaaliset luvut ovat toisaalta päinvastaisia, toisin sanoen niitä ovat numerot, joita ei voida kirjoittaa murto-osina, kuten mainitsimme, ne ovat ei-jaksollisia desimaaleja ja epätarkkoja juuria.
- Esimerkki
Kymmenykset 3.12121212... ovat jaksollisia. Huomaa, että desimaaliosassa on piste, joka on luku 12, joka toistetaan aina, tämä luku on järkevä.
6,1249375 kymmenykset…. on ei-jaksollinen, huomaa, että sen desimaaliosassa ei ole jaksoa, joka tekee tämän luvun irrationaalinen.
ratkaisi harjoituksia
Kysymys 1 - Mitkä seuraavista numeroista voidaan luokitella irrationaalisiksi?
Resoluutio
Vaihtoehto C.
a) Tiedämme, että 25 on täydellinen neliö, ts. sen neliöjuuri on täsmälleen yhtä suuri kuin 5, joten tämä on järkevä luku.
b) Laskettaessa 81: n juurta tiedämme, että sen tulos on 9, mikä tekee numerosta järkevän.
c) 10: llä ei ole tarkkaa neliöjuuria, eli se on irrationaaliluku, joka tekee vaihtoehdosta C oikean.
d) 5.1888 on tarkka desimaaliluku, joten se on järkevä.
e) 1.2323… on kymmenesosa, jonka jakso on 23, joten se on järkevä luku.
Kysymys 2 - Arvioi irrationaaliluvuista seuraavat väitteet oikeiksi tai vääriksi:
I - Jokainen neliöjuuri on irrationaaliluku.
II - Jokainen ei-jaksollinen desimaali on irrationaaliluku.
III - Luku ɸ ja luku π ovat esimerkkejä irrationaaliluvuista.
Tuomioiden mukaan on oikein sanoa, että:
a) Ainoa väite I on totta.
b) Ainoa väite II on totta.
c) Vain väitteet II ja III pitävät paikkansa.
d) Ainoastaan väitteet I ja II ovat totta.
e) Kaikki väitteet ovat totta.
Resoluutio
Vaihtoehto C.
Minä - Väärä, koska vain ei-tarkka neliöjuuri on irrationaaliluku.
II - Totta. Ei-jaksolliset desimaalit ovat irrationaalisia lukuja.
III - Totta, koska luvut ɸ ja π ovat ei-jaksollisia desimaaleja, ne ovat siis irrationaalisia lukuja.
