THE 2. asteen yhtälö karakterisoidaan yhdelle polynomi 2 asteen eli tyypin ax polynomin2+ bx + c, missä , B ja ç he ovat reaaliluvut. Ratkaistessamme asteen 2 yhtälöä olemme kiinnostuneita etsimään arvoja tuntemattomalle. x tällöin lausekkeen arvo on yhtä suuri kuin 0, joita kutsutaan juuriksi eli kirveeksi2 + bx + c = 0.
Lue myös: Funktion ja yhtälön erot
2. asteen yhtälöiden tyypit
2. asteen yhtälö voi olla jota edustaa akseli + bx + c = 0, jossa kertoimet , B ja ç ovat todellisia lukuja ≠ 0.
→ Esimerkkejä
a) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 ja c = - 6
b) x2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 ja c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 ja c = -1
2. asteen yhtälö luokitellaan saattaa loppuun kun kaikki kertoimet eroavat 0: sta, ≠ 0, B ≠ 0 ja ç ≠ 0.
2. asteen yhtälö luokitellaan epätäydellinen kun kertoimien arvo B tai ç ovat yhtä suuria kuin 0, ts. b = 0 tai c = 0.
→ Esimerkkejä
a) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 ja c = - 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 ja c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b = 0 ja c = 0
Varoitus: kerroinarvo se ei ole koskaan yhtä suuri kuin 0, jos näin tapahtuu, yhtälö ei ole enää 2. astetta.
Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)
Kuinka ratkaista 2. asteen yhtälöt?
2. asteen yhtälön ratkaisu tapahtuu, kun juuret löytyvät, eli niille määritetyt arvot x. Nämä arvot x on tehtävä tasa-arvo totta, toisin sanoen korvaamalla arvon x lausekkeessa tuloksen on oltava 0.
→ Esimerkki
Otetaan huomioon x-yhtälö2 - 1 = 0, että x ’= 1 ja x’ ’= - 1 ovat yhtälön ratkaisuja, koska korvaamalla nämä arvot lausekkeessa, meillä on todellinen tasa-arvo. Katso:
x2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 ja (–1)2 – 1 = 0
Ratkaisun löytäminen a yhtälö, on tarpeen analysoida, onko yhtälö täydellinen ja epätäydellinen, ja valita käytettävä menetelmä.
Ratkaisumenetelmä tyypin yhtälöille kirves²+ c = 0
Menetelmä epätäydellisten yhtälöiden ratkaisun määrittämiseksi B=0koostuu tuntemattoman eristämisestä x, täten:
→ Esimerkki
Etsi yhtälön juuret 3x2 – 27 = 0.
Jos haluat tietää enemmän tästä menetelmästä, siirry: 2. asteen epätäydellinen yhtälö nollakertoimella b.
Ratkaisumenetelmä tyypin yhtälöille kirves2 + bx = 0
Menetelmä yhtälön mahdollisten ratkaisujen määrittämiseksi ç = 0, koostuu todisteiden huomioon ottaminen. Katso:
kirves2 + bx = 0
x · (ax + b) = 0
Kun tarkastellaan viimeistä yhtälöä, on havaittavissa, että on olemassa kertolasku ja että tuloksen ollessa 0 on välttämätöntä, että ainakin yksi tekijöistä on yhtä suuri kuin 0.
x · (ax + b) = 0
x = 0 tai ax + b = 0
Siksi yhtälön ratkaisu saadaan:
→ Esimerkki
Määritä yhtälön ratkaisu 5x2 - 45x = 0
Jos haluat tietää enemmän tästä menetelmästä, siirry: epätäydellinen 2. asteen yhtälö nollakertoimella c.
Ratkaisumenetelmä täydellisille yhtälöille
Menetelmä, joka tunnetaan nimellä Bhaskaran menetelmä tai Bhaskaran kaava huomauttaa, että tyypin ax toisen asteen yhtälön juuret2 + bx + c = 0 saadaan seuraavasta suhteesta:
→ Esimerkki
Määritä yhtälön ratkaisu x2 - x - 12 = 0.
Huomaa, että yhtälön kertoimet ovat: a = 1; B= - 1 ja ç = – 12. Korvaamalla nämä arvot Bhaskaran kaavaan meillä on:
Delta (A) on nimetty syrjivä ja huomaa, että se on a neliöjuuri ja kuten tiedämme, reaaliluvut huomioon ottaen, negatiivisen luvun neliöjuuria ei ole mahdollista poimia.
Tietäen erottelijan arvon voimme tehdä joitain lausuntoja toisen asteen yhtälön ratkaisusta:
→ positiivinen syrjivä tekijä (Δ> 0): kaksi ratkaisua yhtälöön;
→ erottava arvo on nolla (Δ = 0): yhtälön ratkaisut toistetaan;
→ negatiivinen syrjivä tekijä (Δ <0): ei myönnä todellista ratkaisua.
Toisen asteen yhtälöjärjestelmät
Kun tarkastelemme samanaikaisesti kahta tai useampaa yhtälöä, meillä on a yhtälöjärjestelmä. Kahden muuttujan järjestelmän ratkaisu on joukko järjestettyjä pareja joka tyydyttää samanaikaisesti kaikki mukana olevat yhtälöt.
→ Esimerkki
Harkitse järjestelmää:
Arvoilla: x ’= 2, x’ ’= - 2 ja y’ = 2, y ’’ = - 2 voimme koota järjestettyjä pareja, jotka tyydyttävät samanaikaisesti järjestelmäyhtälöt. Katso: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Muista, että järjestetty pari on kirjoitettu muodosta (x, y).
Menetelmät yhtälöjärjestelmän ratkaisun löytämiseksi ovat samanlaisia kuin lineaariset järjestelmät.
→ Esimerkki
Harkitse järjestelmää:
Eristetään yhtälöstä x - y = 0 tuntematon x, täten:
x - y = 0
x = y
Nyt meidän on korvattava eristetty arvo toiseen yhtälöön näin:
x2 - x –12 = 0
y2 - y –12 = 0
Bhaskaran menetelmällä meidän on:
Koska x = y, meillä on x ’= y’ ja x ’’ = y ’’. Eli:
x ’= 4
x ’’ = -3
Täten järjestetyt parit ovat järjestelmän (4, 4) ja (- 3, - 3) ratkaisuja.
Lue lisää: 1. ja 2. asteen yhtälöiden järjestelmä
ratkaisi harjoituksia
Kysymys 1 - (ESPM -SP) Alla olevan yhtälön ratkaisut ovat kaksi numeroa
a) serkut.
b) positiivinen.
c) negatiivinen.
d) parit.
e) pariton.
Ratkaisu
Tiedämme, että murto-osan nimittäjät eivät voi olla yhtä suuria kuin nolla, joten x ≠ 1 ja x ≠ 3. Ja koska murtoluvut ovat yhtä suuret, voimme kertoa ristiin saaden:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
x2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
x2 - 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Jakamalla yhtälön molemmat puolet 2: lla on:
x2 - 4x - 5 = 0
Bhaskaran kaavaa käyttäen seuraa, että:
Huomaa, että yhtälön juuret ovat parittomia lukuja.
Vaihtoehtoinen e.
kysymys 2 - (UFPI) Siipikarjankasvattaja havaitsi, että kun (n +2) lintua oli asetettu kuhunkin käytettävissä olevaan n lintuhuoneeseen, jäljellä olisi vain yksi lintu. Lintujen kokonaismäärä kaikilla n: n luonnollisilla arvoilla on aina
a) parillinen luku.
b) pariton luku.
c) täydellinen neliö.
d) 3: lla jaettava luku.
e) alkuluku.
Ratkaisu
Lintujen lukumäärä saadaan kertomalla lintujen lukumäärä kullekin asetettujen lintujen lukumäärälle. heistä, harjoituksen lausunnolla tämän prosessin suorittamisen jälkeen, on vielä yksi lintu jäljellä, voimme kirjoittaa kaiken tämän seuraavaan tavalla:
n · (n + 2) +1
Suorittamalla jakelu saadaan:
ei2 + 2n +1
Ja tämän polynomin laskemisesta seuraa, että:
(n + 1)2
Siten lintujen kokonaismäärä on aina täydellinen neliö mille tahansa luonnolliselle luvulle n.
Vaihtoehto C
kirjoittanut Robson Luiz
Matematiikan opettaja
