THE ympärysmitta on litteä geometrinen kuvio, jonka muodostaa yhtä kaukana olevien pisteiden yhdistäminen, ts. heillä on sama etäisyys kiinteästä pisteestä, jota kutsutaan keskukseksi. Ympärysmitta tutkitaan myös analyyttinen geometria, jossa on mahdollista johtaa sitä edustava yhtälö.
vaikkakin ympyrä ja ympärysmitta ovat tasaisia geometrisia kuvioita, joissa on joitain yhteisiä elementtejä, mikä yleensä johtaa epäilyihin, näissä luvuissa on merkittäviä eroja, erityisesti mitan suhteen.
Lue myös: Kahden pisteen välinen etäisyys - tärkeä analyyttisen geometrian käsite
ympyrän elementit
Huomaa ympärysmitta:
Kohta Ç sitä kutsutaan ympyrän keskelläja huomaa, että pisteet A ja B kuuluvat siihen. Segmentti, joka yhdistää keskuksen läpi kulkevan ympyrän päät, kutsutaan halkaisija. Edellisellä kehällä meidän on sitten halkaisija on AB-segmentti.
Kohteeseen jaa halkaisija kahtia saatetaan kehän säde, eli ympyrän säde (r) se on segmentti, joka liittyy keskelle ja päähän. Tässä tapauksessa säde on CB-segmentti. Voimme luoda matemaattisen suhteen näiden kahden elementin välille, koska halkaisija on kaksinkertainen säde.
d = 2 · r
Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)
Esimerkki
Määritä ympyrän säde, jonka halkaisija on 40 cm.
Tiedämme, että halkaisija on kaksinkertainen säde, kuten tämä:
ympärysmitan pituus
Tarkastellaan ympyrää, jonka säde on r. O pituus tai kehä - ympärysmitta saadaan çjatkuva pi (π) kaksinkertaisella säteellä.
Kun laskemme ympyrän pituuden tai kehän, määritämme viivan koon vihreää edellisessä piirustuksessa, ja tee tämä korvaamalla vain säteen arvo kaavassa, johon edetään kuva.
Esimerkki
Määritä säteen ympärysmitan pituus 5 cm.
Ympyrän säde on 5 cm, joten ympyrän pituuden määrittämiseksi meidän on korvattava tämä arvo kaavassa.
C = 2πr
C = 2 (3,14) (5)
C = 6,24,5
C = 31,2 cm
Katso myös: Kirjoitettujen polygonien rakentaminen
ympärysmitta-alue
Tarkastellaan ympyrää, jonka säde on r. Alueesi laskemiseksi meidän on kerro säteen arvon neliö π: llä.
Kun laskemme ympyrän pinta-alan, määritämme pinnan mitan eli koko alueen ympyrän sisällä.
- Esimerkki
Määritä ympyrän alue, jonka säde on 4 cm.
Meillä on, että kehän säde on yhtä suuri kuin 4 cm, joten voimme korvata tämän mittauksen alueen kaavassa. Katso:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 · 16
H = 50,24 cm2
Ympärysmitta pienensi yhtälöä
Tiedämme, että ympyrä voidaan rakentaa kokoelma pisteitä, joilla on sama etäisyys kiinteästä pisteestä, jota kutsutaan alkuperäksi tai keskukseksi. Joten, harkitse kiinteää pistettä Kartesian taso O (a, b). Pistejoukko - jota edustaa P (x, y) - ja joka on sama etäisyys r tästä kiinteästä pisteestä, muodostaa ympyrän, jonka säde on r.
Huomaa, että muodon P (x, y) pisteet ovat kaikki samalla etäisyydellä pisteestä O (a, b), ts. pisteiden O ja P välinen etäisyys on yhtä suuri kuin ympyrän säde, täten:
Klo pienennetty yhtälö, huomaa, että numerot ja B ovat ympyrän keskipisteen ja sen koordinaatit r on säteen mitta.
- Esimerkki
Määritä keskuksen koordinaatit ja yhtälön sisältävän ympyrän säteen mitta:
a) (x - 2)2 + (y - 6)2 = 36
Vertaamalla tätä yhtälöä pelkistettyyn yhtälöön, meillä on:
(x - )2 + (y - B)2 = r2
(x - 2)2 + (y -6)2 = 36
Katso, että a = 2, b = 6 ja r2 = 36. Ainoa ratkaisuyhtälö on:
r2 = 36
r = 6
Siksi keskuksen koordinaatti on: O (2, 6) ja säteen pituus on 6.
b) (x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
Vastaavasti meillä on:
(x - )2 + (y - B)2 = r2
(x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
- b = 3
b = –3
Säteen arvon antaa:
r2 = 121
r = 11
c) x2 + y2 = 1
(x - )2 + (y - B)2 = r2
x2 + y2 = 1
Huomaa, että x2 = (x + 0)2 ja y2 = (y + 0)2 . Joten meidän on:
(x - )2 + (y - B)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Siksi keskuksen koordinaatti on O (0, 0) ja säde on yhtä suuri kuin 1.
Pääsy myös: Kuinka löytää ympyrän keskipiste?
ympyrän yleinen yhtälö
Ympyrän yleisen yhtälön määrittämiseksi meidän on kehittää pelkistetty yhtälö hänen. Tarkastellaan siis ympyrää, jonka keskipiste on koordinaateissa O (a, b) ja säde r.
Aluksi kehitämme termit neliöiksi käyttämällä merkittäviä tuotteita; sitten välitämme kaikki numerot ensimmäiselle jäsenelle; ja lopuksi yhdistämme termit samalla kirjaimellisella kertoimella, eli niillä, joilla on samat kirjaimet. Katso:
Esimerkki
Määritä yhtälön sisältävän ympyrän keskipisteen ja keskisäteen koordinaatit:
a) x2 + y2 - 4x - 6y + 4 + 9 - 49 = 0
Tämän yhtälön sisältävän ympyrän säteen ja koordinaattien määrittämiseksi meidän on verrattava sitä yleiseen yhtälöön. Katso:
x2 + y2 – 2.x - 2by + 2 + B2 –r2 = 0
x2 + y2 – 4x - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
Vihreän vertailun perusteella meidän on:
2. = 4
a = 2
tai
2 = 4
a = 2
Punaisten vertailujen perusteella meillä on se:
2b = 6
b = 3
tai
B2 = 9
b = 3
Siten voimme sanoa, että keskuksella on koordinaatti O (2, 3). Verrattaessa r: n arvoa meillä on nyt:
r2 = 49
r = 7
Siksi ympyrän säteen pituus on 7.
b) x2 + y2 - 10x + 14v + 10 = 0
Verrataan samalla tavalla yhtälöitä:
x2 + y2 – 2.x - 2by + 2 + b2 - r2 = 0
x2 + y2 –10x + 14y + 10 = 0
2. = 10
a = 5
B: n arvon määrittäminen:
–2b = 14
b = - 7
Huomaa nyt, että:
2 + b2 - r2 = 10
Koska tiedämme a: n ja b: n arvot, voimme korvata ne kaavassa. Katso:
2 + b2 - r2 = 10
52 + (–7)2 - r2 = 10
25 + 49 - r2 = 10
74 - r2 = 10
- r2 = 10 – 74
(–1) - r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Siksi keskuksen koordinaatit ovat O (5, –7) ja säteen pituus on 8.
Erot kehän ja ympyrän välillä
Ympyrän ja ympyrän välinen ero koskee mittojen lukumäärä jokaisen elementin. Vaikka ympyrällä on yksi ulottuvuus, ympyrällä on kaksi ulottuvuutta.
Ympyrä on alue tasossa, jonka muodostavat pisteet, jotka ovat kaikki yhtä kaukana kiinteästä pisteestä, jota kutsutaan origoksi. Ympyrä koostuu jokaisesta piirin alueesta. Katso ero kuvissa:
Katso myös:ympärysmitan pituus ja ympyrän pinta-ala
ratkaistut harjoitukset
Kysymys 1 - Kehän ympärysmitta on 628 cm. Määritä tämän ympyrän halkaisija (hyväksy π = 3,14).
Resoluutio
Koska kehä on yhtä suuri kuin 628 cm, voimme korvata tämän arvon ympärysmitan ilmaisussa.
kysymys 2 - Kaksi ympyrää ovat samankeskisiä, jos niillä on sama keskipiste. Tämän tietäessä määritä tyhjän kuvan alue.
Resoluutio
Huomaa, että määritettäessä alueen valkoinen alue, meidän on määritettävä suuremman ympyrän pinta-ala ja sitten pienemmän ympyrän alue sinisellä. Huomaa myös, että jos poistamme sinisen ympyrän, vain haluamasi alue on jäljellä, joten meidän on vähennettävä nuo alueet. Katso:
THESUUREMPI = r2
THESUUREMPI = (3,14) · (9)2
THESUUREMPI = (3,14) · 81
THESUUREMPI = 254,34 cm2
Lasketaan nyt sinisen ympyrän pinta-ala:
THEPienempi = r2
THEPienempi = (3,14) · (5)2
THEPienempi = (3,14) · 25
THEPienempi = 78,5 cm2
Tyhjä ala saadaan siis suuremman ja pienemmän alueen välisestä erosta.
THEVALKOINEN = 254,34 – 78,5
THEVALKOINEN = 175,84 cm2
kirjoittanut Robson Luiz
Matematiikan opettaja
Valitse ympyröiden ja niiden ominaisuuksien perusmäärittelystä oikea vaihtoehto.
a) Ympyrä on tasainen alue, jota ympyrä rajaa.
b) Ympyrä on joukko pisteitä, joiden etäisyys keskustaan on aina pienempi kuin vakio r.
c) Ympyrällä on vain kaksi sädettä ja näiden kahden elementin summa on yhtä suuri kuin halkaisija.
d) Ympyrä, jonka keskipiste on O ja säde r, on joukko kaikkia pisteitä, joiden etäisyys O: han on yhtä suuri kuin r.
e) Ympyrä on tason halkaisijan rajoittama alue.
a) Kun piste A on kehän ulkopuolella, segmentti OA on pienempi tai yhtä suuri kuin r.
b) Kun tiedetään, että segmentin OA pituus on lyhyempi kuin r, voidaan sanoa, että A kuuluu tämän kehän rajoittamaan ympyrään.
c) Tietäen, että segmentin OA pituus on suurempi kuin r, voidaan todeta, että A kuuluu ympyrään.
d) Tämän kehän rajoittaman ympyrän halkaisija on 3r.
e) Jotta piste A kuuluisi ympyrään, riittää, että etäisyys A: sta O: han on pienempi kuin r.
