Yksi aritmeettinen eteneminen (PA) on a järjestys numeerinen, jossa kukin termi on edellisen vakion summa, jota kutsutaan suhteeksi. Ne ovat olemassa matemaattiset lausekkeet määrittää PA: n kesto ja laskea sen summa ei ensimmäiset ehdot.
Kaava, jota käytetään laskettaessa ehtojen summa äärellisen PA: n tai summan ei maksusopimuksen ensimmäiset ehdot ovat seuraavat:
sei = klo1 +ei)
2
* n on BP-termien lukumäärä;1 on ensimmäinen termi, jaei on viimeinen.
Maksusopimuksen ehtojen summan alkuperä
Sanotaan, että saksalainen matemaatikko Carl Friederich Gauss, noin 10-vuotias, rangaistiin luokallaan koulussa. Opettaja käski oppilaita laskemaan yhteen kaikki numerossa näkyvät numerot järjestys välillä 1-100.
Gauss oli paitsi ensimmäinen, joka sijoittui hyvin lyhyessä ajassa, mutta myös ainoa, joka sai tuloksen oikein (5050). Lisäksi se ei esittänyt mitään laskelmia. Se, mitä hän teki, oli korjata seuraava kiinteistö:
Kahden ehdon summa, jotka ovat yhtä kaukana äärellisen PA: n ääripäistä, on yhtä suuri kuin ääripäiden summa.
Ei ollut tietoa PANOROIDA tuolloin, mutta Gauss katsoi numeroluetteloa ja huomasi, että ensimmäisen lisääminen viimeiseen johtaisi 101: een; lisäämällä toinen edeltävään, tulos olisi myös 101 ja niin edelleen. Kaikkien termiparien summa yhtä kaukana ääripäistä tuli 101, Gaussin täytyi kertoa tämä luku vain puolella käytettävissä olevista ehdoista löytääksesi 5050-tuloksen.
Huomaa, että numeroista 1 numeroon 100 on täsmälleen 100 numeroa. Gauss tajusi, että jos hän lisäisi ne kaksi kerrallaan, hän saisi 50 tulosta, joka olisi 101. Siksi tämä kertolasku tehtiin puolella kaikista ehdoista.
Osoitus PA: n ehtojen summasta
Tämä saavutus johti ilmaisuun, jota käytettiin summa ei PA: n ensimmäiset ehdot. Tämän ilmaisun saamiseksi käytetty taktiikka on seuraava:
annettu yksi PANOROIDA Lisäämme sen ensimmäiset n termiä. Matemaattisesti meillä on:
sei =1 +2 +3 +… +n - 2 +n - 1 +ei
Hieman tämän alapuolella ehtojen summa, kirjoitamme toisen, samalla termillä kuin edellinen, kuitenkin laskevassa merkityksessä. Huomaa, että ensimmäisen termien summa on yhtä suuri kuin toisen termien summa. Siksi molemmat rinnastettiin S: äänei.
Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)
sei =1 +2 +3 +… +n - 2 +n - 1 +ei
sei =ei +n - 1 +n - 2 +… +3 +2 +1
Huomaa, että nämä kaksi lauseketta on saatu yhdestä PANOROIDA ja että yhtä kaukana olevat termit ovat linjassa pystysuunnassa. Siksi voimme lisätä lausekkeita saadaksemme:
sei =1 +2 +3 +… +n - 2 +n - 1 +ei
+ sei =ei +n - 1 +n - 2 +… +3 +2 +1
2Sei = (a1 +ei) + (a2 +n - 1) +… + (An - 1 +2) + (aei +1)
Muista, että ääripäistä yhtä kaukana olevien termien summa on yhtä suuri kuin ääripäiden summa. Siksi kukin sulu voidaan korvata ääripäiden summalla, kuten teemme seuraavaksi:
2Sei = (a1 +ei) + (a1 +ei) +... + (1 +ei) + (a1 +ei)
Gaussin idea oli lisätä sekvenssin yhtä kaukana olevat termit. Joten hän sai puolet ehdoista PANOROIDA tuloksissa 101. Teimme sen niin, että alkuperäisen BP: n jokainen termi lisättiin sen yhtä kaukana olevaan arvoon säilyttäen sen termien lukumäärä. Siten, koska PA: lla oli n termiä, voimme muuttaa yllä olevan lausekkeen summaa kertomalla ja ratkaista yhtälö löytää:
2Sei = (a1 +ei) + (a1 +ei) +... + (1 +ei) + (a1 +ei)
2Sei = n (a1 +ei)
sei = klo1 +ei)
2
Tätä kaavaa lisätään ei PA: n ensimmäiset ehdot.
Esimerkki
Kun otetaan huomioon P.A (1, 2, 3, 4), määritä sen 100 ensimmäisen termin summa.
Ratkaisu:
Meidän on löydettävä termi a100. Tätä varten käytämme yleinen termikaava PA: n:
ei =1 + (n - 1) r
100 = 1 + (100 – 1)1
100 = 1 + 99
100 = 100
Nyt kaava ensimmäisten n termin yhteenlaskemiseksi:
sei = klo1 +ei)
2
s100 = 100(1 + 100)
2
s100 = 100(101)
2
s100 = 10100
2
s100 = 5050
Luiz Paulo Moreira
Valmistunut matematiikasta
Haluatko viitata tähän tekstiin koulussa tai akateemisessa työssä? Katso:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Aritmeettisen etenemisen ehtojen summa"; Brasilian koulu. Saatavilla: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm. Pääsy 28. kesäkuuta 2021.
