Sinä kompleksiluvut syntyvät tarpeesta ratkaista yhtälöt joilla on negatiivisen luvun juuri, jota siihen asti ei ollut mahdollista ratkaista työskentelemällä todellisilla numeroilla. Kompleksiluvut voidaan esittää kolmella tavalla: a algebrallinen muoto (z = a + bi), joka koostuu todellisesta osasta ja kuvitteellinen osa B; Geometrinen muoto, edustaa kompleksitasossa, joka tunnetaan myös nimellä Argand-Gauss-taso; ja sinun trigonometrinen muoto, tunnetaan myös polaarisena muotona. Kun työskentelemme numeerisen joukon kanssa, kompleksiluvuilla on niiden edustuksen perusteella hyvin määritellyt operaatiot: yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku, jako ja potensointi.
Geometrisen esityksen avulla kompleksitasossa määritämme myös moduulin (jota edustaa |z|) kompleksiluvusta - mikä on etäisyys kompleksilukua edustavasta pisteestä alkuperään - ja mikä on a: n argumentti kompleksiluku - mikä on kulma, joka muodostuu vaaka-akselin ja raidan välille, joka yhdistää alkuperän numeroa edustavaan pisteeseen monimutkainen.
kompleksilukujen tarve
Matematiikassa numeerisen joukon laajentaminen uudeksi joukoksi koko historian ajan oli jotain melko yleistä. On käynyt ilmi, että matematiikka on sen aikana kehittynyt ja sitten vastaamaan ajan tarpeita, huomattiin, että oli olemassa numeroita, jotka eivät kuuluneet siihen viitattuun numeeriseen joukkoon. Näin se tapahtui numeeriset joukot kokonaisluvut, rationaaliarvot, irrationaaliarvot ja reaalit, ja se ei ollut erilainen, kun oli tarvetta laajentaa reaalilukujoukkoa kompleksilukuihin.
Kun yritämme ratkaista asteen yhtälöt, on melko yleistä, että löydämme negatiivisen luvun neliöjuuri, jota on mahdotonta ratkaista reaalilukujoukossa, joten tarvitaan kompleksilukuja. Näiden lukujen tutkimuksen alku sai vastauksia tärkeiltä matemaatikoilta, kuten Giralmo Cardono, mutta Gauss ja Argand virallistivat heidän sarjansa.
Lue myös: Kompleksilukujen geometrinen esitys
Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)
kompleksiluvun algebrallinen muoto
Kun yritettiin ratkaista asteen yhtälö, kuten x² = –25, sen sanottiin usein olevan ratkaisematon. Yritettäessä algebrisiä, algebrallinen esitys, joka mahdollistaa operaatioiden suorittamisen näillä numeroilla, vaikka et voi laskea negatiivisen luvun neliöjuuria.
Helpottaa sellaisten tilanteiden ratkaisemista, joissa työskentelet neliöjuuri negatiivisen luvun, kuvitteellinen yksikkö.
Joten analysoimalla esitetty yhtälö x² = -25, meillä on, että:
Täten yhtälön ratkaisut ovat -5i e5i.
Algebrallisen muodon määrittämiseksi kirje minä, tunnetaan kuvitteellinen yksikkö kompleksiluvusta. Kompleksilukua edustaa:
z = + Bi
Missä ja B ovat todellisia lukuja.
The: todellinen osa, merkitty a = Re (z);
B: kuvitteellinen osa, merkitty Im (z): llä;
i: kuvitteellinen yksikkö.
Esimerkkejä
) 2 + 3i
B) -1 + 4i
ç) 5 – 0,2i
d) -1 – 3i
kun todellinen osa on tyhjä, numero tunnetaan nimellä puhdas kuvitteellinenesimerkiksi -5i ja 5i he ovat puhtaita kuvitteellisia, koska heillä ei ole todellista osaa.
Kun kuvitteellinen osa on nolla, kompleksiluku on myös reaaliluku.
Operaatiot kompleksiluvuilla
Kuten minkä tahansa numeerisen joukon, operaatioiden on oltava hyvin määriteltySiksi on mahdollista suorittaa neljä kompleksilukujen perusoperaatiota ottaen huomioon esitetty algebrallinen muoto.
Kahden kompleksiluvun lisääminen
Suorita lisäys kahdesta kompleksiluvusta z1 ja z2, lisätään z: n todellinen osa1 ja z2 ja vastaavasti kuvitteellisen osan summa.
Olla:
z1 = a + bi
z2 = c + di
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)i
Esimerkki 1
Z: n summan toteutuminen1 ja z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)i
z1 +z2= 3 + 5i
Esimerkki 2
Z: n summan toteutuminen1 ja z2.
z1 = 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)i
z1+z2 = (5 – 3) + 0i
z1 +z2= 3 + 0i = 3
Katso myös: Kompleksilukujen geometrinen esitys
Kahden kompleksiluvun vähennys
Ennen kuin puhumme vähennyslasku, meidän on määriteltävä mikä on kompleksiluvun käänteinen, ts. z = a + bi. Z: n käänteinen luku, jota edustaa –z, on kompleksiluku –z = –a –bi.
Z: n välisen vähennyksen suorittaminen1ja -z2, sekä lisäksi teemme vähennys todellisten osien ja kuvitteellisten osien välillä erikseen, mutta on ymmärrettävä, että -z2 se on kompleksiluvun käänteinen numero, mikä tekee merkkipelin pelaamisen välttämättömäksi.
Esimerkki 1
Suoritetaan z: n vähennyslasku1 ja z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)i
z1–z2= 1 + 1i = 1+ i
Esimerkki 2
Suoritetaan z: n vähennyslasku1 ja z2.
z1= 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)i
z1–z2= (5 + 3) + (–4)i
z1 –z2= 8 + (–4)i
z1 –z2= 8 –4i
Kuvitteelliset yksikkövoimat
Ennen kuin puhumme kertomisesta, meidän on ymmärrettävä kuvitteellisen yksikön voima. Etsitään menetelmää voimien laskemiseksi iei, on välttämätöntä ymmärtää, että nämä voimat käyttäytyvät syklisesti. Tätä varten lasketaan joitain tehot sisään i.
On käynyt ilmi, että seuraavat voimat eivät ole muuta kuin sen toistaminen, huomaa, että:
i 4 = i 2 · i 2 = (–1) (–1) = 1
i 5 = i 2 · i 3 = (–1) (–i) = i
Kun jatkamme tehojen laskemista, vastaukset ovat aina joukon {1, i, –1, - elementtejäi} ja etsi sitten yksikön teho iei, jaamme n (eksponentin) 4: llä ja levätätämän jaon (r = {0, 1, 2, 3}) on kohteen uusi eksponentti i.
Esimerkki1
I: n laskeminen25
Kun jaamme 25 4: llä, osamäärä on 6 ja loppuosa on yhtä suuri kuin 1. Joten meidän on:
i 25 = i1 = i
Esimerkki 2
Lasketaan i 403
Kun jaamme 403 neljällä, osamäärä on 100, koska 100 · 4 = 400, ja loput ovat 3, joten meidän on:
i 403 =i 3 = -i
Kompleksilukujen kertominen
Suoritetaan kahden kompleksiluvun kertolasku soveltamalla jakava omaisuus. Olla:
z1= a + bi
z2= c + di, sitten tuote:
z1 · z2 = (a + bi) (c + di) soveltamalla jakamisomaisuutta,
z1 · z2 = ac + mainosi + cbi + bdi 2, mutta kuten olemme nähneet, i ² = -1
z1 · z2 = ac + mainosi + cbminä - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (ad + cb)i
Tämän kaavan avulla on mahdollista löytää minkä tahansa kahden kompleksiluvun tulo, mutta a: ssa Yleensä sitä ei tarvitse koristaa, koska kyseessä olevaa laskentaa varten sovellamme vain omaisuutta jakava.
Esimerkki
(2 + 3i) (1 – 4i):
(2+3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i– 12i ² muistan sen i² = -1:
(2 + 3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i+ 12
(2 + 3i) (1 – 4i) = (2 + 12) + (– 8 + 3)i
(2+3i) (1 – 4i) = 14 – 5i
Pääsy myös: Kompleksilukujen yhteenlasku, vähennys ja kertolasku
Kompleksilukukonjugaatti
Ennen kuin puhumme jakamisesta, meidän on ymmärrettävä, mikä on kompleksiluvun konjugaatti. Käsite on yksinkertainen löytää kompleksiluvun konjugaatti vaihtaamos kuvitteellisen osan merkki.
kahden kompleksiluvun jakaminen
Suorita kahden kompleksiluvun jakaminen, meidän on kerrottava murto nimittäjän konjugaatilla niin, että mikä on todellinen osa ja mikä on kuvitteellinen osa, on määritelty hyvin.
Esimerkki
(6 - 4: n jaon laskemineni): (4 + 2i)
Katso myös: Kompleksilukujen vastakohta, konjugaatti ja yhtälö
Kompleksitaso tai Argand-Gaussin taso
Tunnetaan monimutkaisena suunnitelmana tai Suunnitelmargand-gauss, hän sallii esitys geometrisessa muodossa monimutkaisesta luvusta tämä suunnitelma on mukautus Kartesian taso edustamaan kompleksilukuja. Vaaka-akseli tunnetaan nimellä todellinen osa-akseli Re (z), ja pystyakseli tunnetaan nimellä kuvitteellisen osan akseli Im (z). Joten kompleksiluku, jota edustaa a + bi generoi pisteet kompleksoidussa tasossa, jonka muodostuu järjestetty pari (a, b).
Esimerkki
Numeron 3 + 2 esitysi geometrisessa muodossa Z (3,2).
Kompleksiluku moduuli ja argumentti
Geometrisesti monimutkaisen luvun moduuli on etäisyys pisteestä (a, b) joka edustaa tätä lukua kompleksitasossa alkuperääneli piste (0,0).
Kuten näemme, | z | on Hypotenuse suorakulmainen kolmio, joten se voidaan laskea soveltamalla Pythagoraan lause, joten meidän on:
Esimerkki:
Moduulin z = 1 + 3 laskemineni
O Perustelu kompleksiluvun geometrisesti on kulma muodostuu vaaka-akselista ja | z |: sta
Kulma-arvon löytämiseksi meidän on:
Tavoitteena on löytää kulma θ = arg z.
Esimerkki:
Etsi kompleksiluvun argumentti: z = 2 + 2i:
Koska a ja b ovat positiivisia, tiedämme, että tämä kulma on ensimmäisessä kvadrantissa, joten lasketaan | z |.
Tietäen | z |: n, on mahdollista laskea sini ja kosini.
Koska tässä tapauksessa a ja b ovat yhtä suuria kuin 2, niin kun laskemme sinθ, löydämme saman ratkaisun kosinille.
Tietämällä sinθ: n ja cosθ: n arvot, tutustumalla merkittävien kulmien taulukkoon ja tietämällä se θ kuuluu ensimmäiseen kvadranttiin, joten θ löytyy asteina tai radiaaneina, joten päätellään mitä:
Trigonometrinen tai polaarinen muoto
Kompleksinumeron esitys trigonometrinen muoto se on mahdollista vasta, kun ymmärrämme moduulin ja argumentin käsitteen. Tämän esityksen perusteella kehitetään tärkeitä käsitteitä kompleksilukujen tutkimiseen edistyneemmällä tasolla. Trigonometrisen esityksen suorittamiseksi muistetaan sen algebrallinen muoto z = a + bi, mutta kompleksista tasoa analysoitaessa meidän on:
Korvaamalla algebrallisessa muodossa a = | z |: n arvot cos θ ja b = | z | sen θ, meidän on:
z = a + bi
Kun z = | z | cos θ + | z | senθ minä, laittaa | z | todisteena pääsemme trigonometrisen muodon kaavaan:
z = | z | (cos θ + i · Synti θ) |
Esimerkki: Kirjoita trigonometrisessä muodossa luku
Trigonometriseen muotoon kirjoittamiseen tarvitaan argumentti ja z-moduuli.
1. askel - | z |: n laskeminen
Tietäen | z |: n, on mahdollista löytää θ: n arvo tarkastelemalla merkittävien kulmien taulukkoa.
Numero z on nyt mahdollista kirjoittaa trigonometriseen muotoonsa kulmana asteina tai kulmana mitattuna radiaaneina.
Lue myös: Kompleksilukujen säteily trigonometrisessä muodossa
ratkaisi harjoituksia
Kysymys 1 - (UFRGS) Kun otetaan huomioon kompleksiluvut z1 = (2, –1) ja z2 = (3, x), tiedetään, että z: n välinen tulo1 ja z2 on reaaliluku. Joten x on yhtä suuri kuin:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Resoluutio
Vaihtoehto D.
Jotta tuote olisi todellinen luku, kuvitteellinen osa on yhtä suuri kuin nolla.
Kirjoittamalla nämä numerot algebralliseen muotoon meidän on:
z1 = 2 – 1i ja z2 = 3 + xi
z1 · Z2 = (2 – 1i) (3 + xi)
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3minä - xi ²
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3i + x
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)i
Koska kiinnostuksemme on, että kuvitteellinen osa on yhtä suuri kuin nolla, ratkaisemme 2x - 3 = 0
Kysymys 2 - (UECE) Jos i on kompleksiluku, jonka neliö on yhtä suuri kuin -1, niin arvon 5i 227 + i 6 – i 13 se on sama kuin:
) i + 1
b) 4i –1
c) -6i –1
d) -6i
Resoluutio
Vaihtoehto C.
Tämän lausekkeen ratkaisemiseksi on löydettävä loput jokaisesta luvusta jaolla 4: llä.
227: 4 antaa osamäärän 56 ja lopun 3.
i 227 = i 3 = –i
6: 4 johtaa osamäärään 1 ja loppuosaan 2.
i 6 = i 2 = –1
13: 4 johtaa osamäärään 3 ja loppuosaan 1.
i 13 = i1 = i
Joten meidän on:
5i 227 + i 6 – i 13
5 (–i) + (–1) – i
–5i –1 – i
–6i – 1
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja
