Sina irratsionaalsed arvud põhjustas matemaatikute seas pikka aega suurt rahutust. Täna, juba täpselt määratletud, teame irratsionaalse arvuna seda, kelle oma kümnendkoha esitus on alati mitteperioodiline kümnendkoht. Irratsionaalsete peamine omadus ja see, mis eristab neid ratsionaalsetest arvudest, on see, et nad on ei saa tähistada a murdosa.
Irratsionaalsete arvude uurimist süvendati, kui Pythagorase teoreemiga seotud probleemide arvutamisel leiti mittetäpsed juured. Nendele ebatäpsetele juurtele lahenduse otsimine tegi mittetäpse kümnise olemasolu tähelepanuväärseks perioodiline, see tähendab arvude arv, mille kümnendosa on lõpmatu ja millel pole head järjestust. määratletud. Peamised irratsionaalsed arvud on mitteperioodilised kümnendkohad, ebatäpsed juured ja π.
Loe ka: Ruutjuur - juurdumisjuhtum, kus radikaalne indeks on 2
Iratsionaalsete arvude komplekt
Enne irratsionaalsete arvude uurimist uuriti numbrikomplekte loomulik, täisarvud ja ratsionaalsed väärtused. Ristkülikukolmnurga uurimisse süvenedes selgus, et
on juured, millel pole täpset lahendust, eriti oli võimalik näha, et ebatäpsed juurlahendused on arvud tuntud kui perioodilised kümnised.Selle rahutuse keskel on paljud matemaatikud püüdnud edutult näidata, et ebatäpsed juured on ratsionaalsed arvud ja mida saab esitada murdosana, kuid mõisteti, et neid numbreid ei saa selles esindada vormis. Kuna seni ei sisaldanud ratsionaalsete arvude hulk neid numbreid, tekkis vajadus luua uus hulk, mida nimetatakse irratsionaalsete arvude kogumiks.
Arv on irratsionaalne, kui selle kümnendkoha esitus on mitteperioodiline kümnendkoht. |
Mis on irratsionaalsed arvud?
Irratsionaalse arvu saamiseks peab see vastama määratlusele, see tähendab selle kümnendkoha esitus on mitteperioodiline kümnendkoht. Mitteresperioodiliste kümnendkohtade peamine omadus on see, et neid ei saa esitada murdosaga, mis näitab, et irratsionaalsed arvud on vastupidised ratsionaalsetele arvudele.
Selle funktsiooniga peamised numbrid on juured pole täpsed.
Näited:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Mittetäpsete juurlahenduste otsimisel, st nende arvude kümnendarvude esitamisel, alati leiame mitteperioodilise kümnendkoha, mis muudab need arvud hulga elementideks irratsionaalne.
Lisaks mittetäpsetele juurtele on ka mitteperioodilised kümnendkohad ise, näiteks kui arvutame mittetäpsed juured, leiame mitteperioodilise kümnendkoha.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Irratsionaalseid numbreid esindavad tavaliselt kreeka tähed, sest kõiki selle kümnendkohti pole võimalik kirjutada.
Esimene neist on π (loe: pi), mis on arvutatud pindade ja ringide ümbermõõdu arvutamisel. Selle väärtus on võrdne 3,1415926535…
Lisaks π on veel üks väga levinud arv ϕ (loe: fi). Teda leitakse probleemidega, mis on seotud proportsioon kuldne. Selle väärtus on võrdne 1,618033 ...
Vaadake ka: Mis on algarvud?
Ärge lõpetage kohe... Pärast reklaami on veel rohkem;)
ratsionaalne ja irratsionaalne arv
Numbrikomplektide analüüsimisel tuleb on oluline eristada ratsionaalarvusid irratsionaalarvudest. Nende kahe hulga liit moodustab matemaatikas ühe enim uuritud hulga, reaalide hulga, st reaalarvud see on arvude liitmine, mida saab esitada murdarvudena (ratsionaalsed) numbritega, mida ei saa esitada murdena (irratsionaalne).
Komplektis ratsionaalsed arvud, on täisarvud, loomulikud, täpsed kümnendkohad ja perioodilised kümnendkohad.
Näited ratsionaalsetest arvudest:
-60 → täisarv
2,5 → täpne kümnendkoht
5.1111111… → perioodiline kümnendkoht
Iratsionaalsed arvud on mitteperioodilised kümnendkohad, seega pole ühtegi ratsionaalset ja irratsionaalset arvu.
Näide irratsionaalsetest arvudest:
1,123149… → mitteperioodiline kümnis
2.769235… → mitteperioodiline kümnis
Operatsioonid irratsionaalsete numbritega
liitmine ja lahutamine
THE lisamine ja lahutamine kahest irratsionaalsest numbrist on tavaliselt just esindatud, välja arvatud juhul, kui kasutatakse nende arvude kümnendkohalist lähendust, näiteks:
a) √6 + √5
b) √6 - √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
Radikaalide tõttu ei saa me väärtusi liita ega lahutada, seega jätsime operatsiooni just näidatud.
Kümnendarvude esitamisel pole samuti võimalik täpset summat esitada, nii et kahe irratsionaalse arvu lisamiseks vajame ratsionaalset lähendust.ja see esitus valitakse vastavalt andmete täpsuse vajadusele. Mida rohkem komakohti arvestame, seda lähemale saame täpse summa.
Tähelepanek:irratsionaalsete arvude hulk ei ole liitmise ega lahutamise jaoks suletud, see tähendab, et kahe irratsionaalse arvu summa tulemuseks võib olla arv, mis pole ratsionaalne. Näiteks kui arvutame irratsionaalse arvu erinevuse selle vastandiga, peame:
a) √2 - √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Me teame, et 0 ei ole irratsionaalne arv.
Korrutamine ja jagamine
Korrutamine ja jaotus irratsionaalsete arvude arv saab teha, kui esindus on a kiirgus, kuid sarnaselt liitmisele, see tähendab kümnendkohtade korrutamisel või jagamisel, on vaja selle arvu ratsionaalset lähendamist.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Pange tähele ka seda, et näites b, 4 on ratsionaalne arv, mis tähendab, et kahe irratsionaalse arvu korrutamine ja jagamine pole suletud, see tähendab, et neil võib olla ratsionaalne tulemus.
lahendatud harjutused
Küsimus 1 - Vaadake üle järgmised numbrid:
I) 3,1415926535
II) 4,1234510…
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
Need on irratsionaalsed arvud:
A) Ainult I, IV ja V
B) Ainult II, III ja VI
C) Ainult II, IV ja VI
D) Ainult I, II, III ja VI
E) Ainult III, IV, V ja VI
Resolutsioon
Alternatiiv B
I → arv on täpne kümnendkoht, ratsionaalne.
II → arv on mitteperioodiline, irratsionaalne kümnendkoht.
III → π on irratsionaalne ja selle kahekordne, see tähendab 2π, on samuti irratsionaalne.
IV → arv on perioodiline, ratsionaalne kümnendkoht.
V → täpne, ratsionaalne juur.
VI → juur pole täpne, irratsionaalne.
2. küsimus - Hinnake palun järgmisi väiteid:
I - reaalarvude hulk on ratsionaalsete ja irratsionaalsete liit;
II - kahe irratsionaalse arvu summa võib olla ratsionaalne arv;
III - kümnised on irratsionaalsed arvud.
Väiteid analüüsides võime öelda, et:
A) Ainult väide I vastab tõele.
B) Ainult väide II vastab tõele.
C) Ainult väide III vastab tõele.
D) Tõesed on ainult väited I ja II.
E) Kõik väited vastavad tõele.
Resolutsioon
Alternatiiv D
I → Tõsi, sest reaalarvude hulga määratlus on liit ratsionaalse ja irratsionaalse vahel.
II → Tõsi, kui lisame selle vastandarvu, on tulemuseks arv 0, mis on ratsionaalne.
III → Vale, mitterioodiline kümnis on irratsionaalne.
Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatikaõpetaja
