Permutatsioonid on osa loendusprobleemidest. Kasutame permutatsioone, et teada saada hulga elementide järjestuste arvu. Harjutage oma teadmisi permutatsiooni kohta ja lahendage oma kahtlused lahendatud harjutustega.
1. harjutus
Kaks sõpra mängisid kuuetahuliste täringutega. Teatavasti tulid välja numbrid 4, 1, 2 ja 5, mitte tingimata selles järjekorras. Mitu tulemuste jada võis olla?
Vastus: 24
Tulemuste järjekord võib olla järgmine:
1, 2, 4 ja 5 või
5, 4, 5 ja 1 või
4, 5, 1 ja 2
Võimalike järjestuste koguarvu määramiseks arvutame nelja erineva elemendiga permutatsiooni.
2. harjutus
Kuueliikmeline sõpruskond läks kinno filmi vaatama ja ostsid oma piletid samale istmereale. Arvestades, et seal on paar ja nad istusid naabertoolidel, siis kui palju need sõbrad toolirida mahtusid?
Vastus: 240
Kuna arvutuses võetakse arvesse kõiki komplekti "sõbrad" elemente, on tegemist permutatsiooniprobleemiga.
Permutatsioonide võimaliku koguarvu arvutamiseks võtsime arvesse 5 elementi, kuna paar peab alati koos olema.
Lisaks peame nendest 120 võimalusest korrutama kahega, kuna paar saab omavahel kohti vahetada.
Seega on sõpradel mitu võimalikku viisi end toolireas organiseerida:
120. 2 = 240
3. harjutus
Sisehoovis mängib 7-liikmeline klass, kes kasutab oma vaheaega. Kuuldes signaali, mis teavitab klassiruumidesse naasmist, liiguvad õpilased rivisse. Kui mitmel erineval viisil saavad õpilased järjekorra jada moodustada?
Vastus: 5040
Järjekorra korraldamise võimalike viiside koguarv on 7 erineva elemendi permutatsioon.
4. harjutus
Fotograaf sätib oma kaamerat, et pildistada 5 pingile paigutatud last. Selles rühmas on 3 tüdrukut ja 2 poissi. Võimalik laste paigutus foto jaoks oleks:
Arvestades asendeid, milles lapsed saavad pingil istuda, siis kui mitmel viisil saab fotograaf poisse ja tüdrukuid organiseerida, saades erinevaid fotosid?
Vastus: 10
See on korduvate elementidega permutatsiooni juhtum. Peame jagama permutatsioonide koguarvu korrutisega korduvate elementide permutatsioonide vahel.
5. harjutus
Mitu anagrammi saab teha sõna PREFEITURA tähtedega?
Vastus: 907 200
Sõnal LINNAHALL on 10 tähte, millest osa korduvad. E-täht ilmub kaks korda, nagu ka R.
Arvutame jaotuse 10 elemendi permutatsiooni vahel ja jagame korduvate elementide permutatsioonide korrutisega.
6. harjutus
(UEMG 2019) Sõna PONTA kõigi tähtede permutatsioonide hulgast eemaldatakse juhuslikult üks. Kui suur on tõenäosus eemaldada sõna, mis algab ja lõpeb täishäälikuga?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
Samm 1: kõigi sõna PONTA tähtedega permutatsioonide arv.
Kuna tähti on viis erinevat, on meil:
2. samm: vokaaliga algavate ja lõppevate permutatsioonide arv.
Esimese tähe jaoks on kaks täishäälikuvalikut, viimase tähe jaoks on ainult 1.
Konsonantide jaoks on 3! võimalusi.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
3. samm: määrake tõenäosussuhe.
7. harjutus
(EsPCex 2012) 2-ga jaguva arvu saamise tõenäosus, kui valite juhuslikult ühe numbrite 1, 2, 3, 4, 5 permutatsiooni, on
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
Samm 1: permutatsioonid kokku.
Kuna on viis erinevat elementi, on 5 elemendi permutatsioonide arv võrdne 5 faktoriaaliga.
2. samm: kahega jaguvate viiekohaliste arvude permutatsioonid.
2-ga jagamiseks on tingimus, et see on paaris. Seega on viimase numbri jaoks kaks võimalust, 2 ja 4.
Teiste positsioonide jaoks on 4! võimalusi.
3. samm: tõenäosusarvutus.
Harjutus 8
(EsFCEx 2022) Olgu P jada 1, 3, 6, 9, 12 permutatsioonide hulk, mille esimene liige erineb 1-st. Kui üks neist jadadest on juhuslikult koostatud, on tõenäosus, et teine liige on 3, võrdne p/q-ga, kus p, q ∈ IN* ja gcd (p, q) = 1. Seetõttu on q – p võrdne
a) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
Samm 1: määrake võimalike juhtumite koguarv näidisruumis.
Paremalt vasakule esimene number ei saa olla üks, seega on esimese positsiooni hõivamiseks 4 võimalust.
Ülejäänud positsioonide hõivamiseks on 4! võimalusi.
Permutatsioonid on järgmised:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
2. samm: määrake sündmuse toimumise võimalused, teine on kolm, esimene erineb ühest.
Permutatsioonid on järgmised:
3.1.3.2.1 = 18
3. samm: tõenäosussuhe.
Tõenäosussuhe on:
Kui p = 18 ja q = 96.
Siiski on endiselt tingimus, et suurim ühisjagaja p ja q vahel on 1, mida ei esine 18 ja 96 korral.
Peame lihtsustama ja testima 18/96-ga võrdväärseid murde.
4. samm: tõenäosusmurru lihtsustamine ning p ja q määramine.
Kuna gcd (3, 16) = 1, p = 3 ja q = 16.
5. samm: järeldus.
q - p = 16 - 3 = 13
Lisateavet permutatsioon.
Rohkem harjutusi vaadake:
Kombinatoorse analüüsi harjutused
ASTH, Rafael. Lahendati ja selgitati permutatsiooniharjutusi.Kõik oluline, [n.d.]. Saadaval: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Juurdepääs aadressil:
Vaata ka
- Kombinatoorne analüüs
- Kombinatoorse analüüsi harjutused
- Permutatsioon: lihtne ja korduv
- Paigutus matemaatikas: mis see on, kuidas arvutada, näited
- 27 matemaatika põhiharjutust
- Kombinatsioon matemaatikas: kuidas arvutada ja näiteid
- Tõenäosuse harjutused
- Tõenäosus