Eksponentsiaalne funktsioon: 5 kommenteeritud harjutust

THE eksponentsiaalfunktsioon on function funktsioon ℝ^*_+, määratletud f (x) = a^x, kus a on reaalarv, suurem kui null ja pole võrdne 1-ga.

Kasutage kommenteeritud harjutuste eeliseid, et kõrvaldada kõik kahtlused selle sisu osas ja kontrollige kindlasti oma teadmisi võistluste lahendatud küsimustes.

Kommenteeritud harjutused

1. harjutus

Rühm biolooge uurib konkreetse bakterite koloonia ja leiti, et ideaalsetes tingimustes võib bakterite arvu leida avaldise N (t) kaudu = 2000. 2^0,5t, olles t tundides.

Kui arvestada neid tingimusi, siis kui kaua pärast vaatluse algust on bakterite arv 8192000?

Lahendus

Kavandatavas olukorras teame bakterite arvu, see tähendab, et teame, et N (t) = 8192000 ja tahame leida t väärtuse. Niisiis, lihtsalt asendage see väärtus antud avaldises:

Selle võrrandi lahendamiseks kirjutame algteguriteks arvu 4096, sest kui meil on sama alus, võime eksponendid võrdsustada. Seetõttu on arv:

Seega on kultuuris ühe päeva (24 h) möödumisel vaatluse algusest 8 192 000 bakterit.

2. harjutus

Radioaktiivsetel materjalidel on aja jooksul loomulik kalduvus nende radioaktiivset massi lagundada. Poole radioaktiivse massi lagunemiseks kuluvat aega nimetatakse selle poolestusajaks.

Antud elemendi radioaktiivse materjali kogus arvutatakse järgmiselt:

Olemine,

N (t): radioaktiivse materjali kogus (grammides) antud aja jooksul.
N₀: materjali esialgne kogus (grammides)
T: poolväärtusaeg (aastates)
t: aeg (aastates)

Arvestades, et selle elemendi poolväärtusaeg on võrdne 28 aastaga, määrake aeg, mis on vajalik radioaktiivse materjali vähendamiseks 25% -ni selle algsest kogusest.

Lahendus

Kavandatava olukorra jaoks A (t) = 0,25 A₀ = 1/4 A₀, nii et saame kirjutada antud avaldise, asendades T 28 aastaga, siis:

Seetõttu kulub 56 aastat, enne kui radioaktiivse materjali kogus väheneb 25%.

Konkursi küsimused

1) Unesp - 2018

Ibuprofeen on välja kirjutatud valu ja palaviku ravim, mille poolväärtusaeg on umbes 2 tundi. See tähendab, et näiteks pärast 2-tunnist 200 mg ibuprofeeni sissevõtmist jääb patsiendi vereringesse ainult 100 mg ravimit. Veel 2 tunni pärast (kokku 4 tundi) jääb vereringesse ainult 50 mg ja nii edasi. Kui patsient saab 800 mg ibuprofeeni iga 6 tunni järel, on selle ravimi kogus, mis jääb vereringesse 14. tunniks pärast esimese annuse võtmist.

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Vt vastus

Kuna esialgne ravimi kogus vereringes iga 2 tunni järel jagatakse pooleks, saame seda olukorda kujutada järgmise skeemi abil:

Pange tähele, et eksponent on igas olukorras võrdne ajaga jagatuna 2-ga. Seega saame määratleda ravimite hulga vereringes aja funktsioonina, kasutades järgmist väljendit:

Olemine

Q (t): kogus antud tunnis
Q₀: algne allaneelatud kogus
t: aeg tundides

Arvestades, et iga 6 tunni järel võeti 800 mg ibuprofeeni, on meil:

Ravimite koguse leidmiseks vereringes 14 tundi pärast esimese annuse võtmist peame lisama 1., 2. ja 3. annusele vastavad kogused. Nende koguste arvutamisel on meil:

Esimese annuse kogus leitakse, võttes arvesse aega, mis võrdub 14 tunniga, nii et meil on:

Teise annuse jaoks, nagu on näidatud ülaltoodud diagrammil, oli selleks ajaks 8 tundi. Selle väärtuse asendamiseks on meil:

3. annuse manustamise aeg on ainult 2 tundi. Kolmanda annusega seotud kogus on siis:

Nüüd, kui me teame iga neelatud annuse koguseid, võime leida kogu koguse, lisades kõik leitud kogused:

Q_kokku= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternatiiv b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

Linna varustamiseks kasutatav järv oli pärast tööõnnetust saastunud, saavutades toksilisuse T₀, mis vastab kümnekordsele algtasemele.
Lugege allpool olevat teavet.

• Järve looduslik vooluhulk võimaldab iga kümne päeva järel 50% selle mahust uuendada.
• Mürgisuse taset T (x) saab pärast x päeva õnnetusest arvutada järgmise võrrandi abil:

Mõelge D-le väikseima veevarustuse peatamise päevade arvu, mis on vajalik mürgisuse algtasemele naasmiseks.
Kui log 2 = 0,3, on D väärtus võrdne järgmisega:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Vt vastus

Esialgse mürgisustaseme juurde naasmiseks on vajalik, et:

Asendades selle väärtuse antud funktsioonis, on meil:

Korrutades ristiga, saab võrrandist:

2 ^0,1x= 10

Rakendame baas 10 logaritmi mõlemale poolele, et muuta see 1. astme võrrandiks:

log (2^0,1x) = log 10

Pidades meeles, et baasi 10 log 10 on võrdne 1-ga, näeb meie võrrand välja selline:

0,1x. log 2 = 1

Arvestades, et log 2 = 0,3 ja asendades selle väärtuse võrrandis:

Seega on kõige väiksem pakkumiste peatamise päevade arv 34 päeva.

Alternatiiv c) 34

3) Fuvesp - 2018

Olgu f: ℝ → ℝ ja g: ℝ₊ → ℝ määratletud

vastavalt.

Liitfunktsiooni graafik g_ºusk:

Vt vastus

Graafik, mida otsite, on liitfunktsioon g_ºf, seega on esimene samm selle funktsiooni määramine. Selleks peame funktsiooni g (x) x-is asendama funktsiooni f (x). Selle asenduse leidmisel leiame:

Kasutades jagatis ja astme logaritmi omadust, on meil:

Pange tähele, et ülaltoodud funktsioon on tüüpi ax + b, mis on afiinne funktsioon. Nii et teie graafik on sirge.

Samuti on kalle a võrdne logiga₁₀ 5, mis on positiivne arv, seega graafik suureneb. Sel viisil saame kõrvaldada valikud b, c ja e.

Kuid meile jäävad valikud a ja d, kui x = 0, on meil gof = - log₁₀ 2, mis on graafikul a kujutatud negatiivne väärtus.

Alternatiiv a)

4) Unicamp - 2014

Allpool olev graafik näitab mikroorganismide populatsiooni biootilise potentsiaali kõverat q (t) aja jooksul t.

Kuna a ja b on tegelikud konstandid, on funktsioon, mis seda potentsiaali esindab

a) q (t) = juures + b
b) q (t) = ab^t
c) q (t) = juures² + bt
d) q (t) = a + log _B t

Vt vastus

Näidatud graafiku põhjal saame tuvastada, et kui t = 0, on funktsioon võrdne 1000-ga. Lisaks on võimalik täheldada ka seda, et funktsioon ei ole afiinne, kuna graafik ei ole sirge.

Kui funktsiooni tüüp oleks q (t) = at²+ bt, kui t = 0, oleks tulemus võrdne nulliga ja mitte 1000-ga. Seega pole see ka ruutfunktsioon.

Kuidas logida_B0 pole määratletud ega saaks vastusena olla funktsioon q (t) = a + log_Bt.

Seega oleks ainus võimalus funktsioon q (t) = ab^t. Arvestades t = 0, on funktsiooniks q (t) = a, kuna a on konstantne väärtus, piisab funktsiooni etteantud graafile sobimisest 1000-ga.

Alternatiiv b) q (t) = ab^t

5) Vaenlane (PPL) - 2015

Ettevõtte töötajate ametiühing soovitab klassi palgapõhiseks tasuks R00 1800,00 dollarit, tehes ettepaneku fikseeritud protsentuaalse tõusu kohta iga töö jaoks pühendatud aasta kohta. Avaldus, mis vastab palgaettepanekule (pakkumistele) staaži (t) funktsioonina aastates, on s (t) = 1800. (1,03)^t .

Liidu ettepaneku kohaselt on selle ettevõtte 2-aastase staažiga spetsialisti palk tegelikult ka

a) 7 416,00
b) 3819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1,909,62.

Vt vastus

Ametiühingu pakutav palga arvutamise funktsioon aja funktsioonina vastab eksponentsiaalsele funktsioonile.

Palgaväärtuse leidmiseks näidatud olukorras arvutame s väärtuse, kui t = 2, nagu allpool näidatud:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Alternatiiv e) 1 909,62

Loe ka:

• Eksponentsiaalne funktsioon
• Logaritm
• Logaritm - harjutused
• Logaritmi atribuudid
• Potentseerimine
• potentseerimisharjutused
• Affine'i funktsioon
• Lineaarne funktsioon
• Seotud funktsiooniharjutused
• Ruutfunktsioon
• Ruutfunktsioon - harjutused
• Matemaatika valemid