A juurdumine See on matemaatiline tehe, nagu liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ja potentseerimine. Samamoodi nagu lahutamine on liitmise ja jagamine korrutamise pöördtehte, on radiatsioon potentseerimise pöördtehte. Seega, kui reaalpositiivsete x ja y ning täisarvu n (suurem või võrdne 2) korral, kui n-ks tõstetud x on võrdne y-ga, võime öelda, et y n-s juur on võrdne x-ga. Matemaatilises tähistuses: \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Loe ka:Fraktsioonide potentseerimine ja kiiritamine – kuidas seda teha?
Kokkuvõte juurdumisest
Rootifitseerimine on matemaatiline tehe.
Kiirgus ja potentseerimine on pöördtehted, st positiivsete x ja y korral, \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Arvu y n-nda juure arvutamine tähendab arvu x leidmist nii, et n-ks tõstetud x võrdub y-ga.
Juure lugemine sõltub indeksist n. Kui n = 2, siis nimetame seda ruutjuureks ja kui n = 3, siis kuupjuureks.
Operatsioonides radikaalidega kasutame sama indeksiga termineid.
Kiirgusel on olulised omadused, mis hõlbustavad selle arvutamist.
Videotund juurdumisest
Juure kujutamine
Et esindada juurdumist, peame arvestama kolme asjassepuutuva elemendiga: radikaal, indeks ja juur. Sümbol \(√\) nimetatakse radikaaliks.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
Selles näites y on radikand, n on indeks ja x on juur. See kõlab "y n-s juur on x". Kui x ja y on positiivsed reaalarvud, siis n on täisarv, mis on võrdne või suurem kui 2. Oluline on märkida, et n = 2 korral võib indeksi ära jätta. Nii et näiteks \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Saame kujutada kiirgust, kasutades radikandi murdosa astendajaga. Formaalselt ütleme, et n-s juur \(y^m\) saab kirjutada nii, et y tõstetakse murdosaastendajani \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Vaadake näiteid:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Erinevused radiatsiooni ja potentseerimise vahel
Potentseerumine ja kiirgus on matemaatilised pöördtehted. See tähendab, et kui \(x^n=y\), siis \(\sqrt[n]{y}=x\). Tundub raske? Vaatame mõnda näidet.
Kui \(3^2=9\), siis \(\sqrt[2]{9}=3\).
Kui \(2^3=8\), siis \(\sqrt[3]{8}=2\).
Kui \(5^4=625\), siis \(\sqrt[4]{625}=5\).
Kuidas juurt lugeda?
Juure lugemiseks, peame arvestama indeksiga n. Kui n = 2, nimetame seda ruutjuureks. Kui n = 3, nimetame seda kuupjuureks. Väärtuste jaoks n suuremad, kasutame järgarvude jaoks nomenklatuuri: neljas juur (kui n = 4), viies juur (kui n = 5) ja nii edasi. Vaadake mõnda näidet:
\(\sqrt[2]{9}\) - ruutjuur 9-st.
\(\sqrt[3]{8}\) - kuupjuur 8-st.
\(\sqrt[4]{625}\) – 625 neljas juur.
Kuidas arvutada arvu juurt?
Allpool näeme, kuidas arvutada positiivse reaalarvu juur. Arvu juure arvutamiseks, peame arvestama sellega seotud pöördtehtega. See tähendab, et kui otsime arvu y n-ndat juurt, peame otsima arvu x, mis on selline \(x^n=y\).
Sõltuvalt y väärtusest (st radikandist) võib see protsess olla lihtne või töömahukas. Vaatame mõningaid näiteid arvu juure arvutamise kohta.
Näide 1:
Mis on 144 ruutjuur?
Resolutsioon:
Helistame otsitavale numbrile x, st \(\sqrt{144}=x\). Pange tähele, et see tähendab sellise arvu x otsimist \(x^2=144\). Testime mõnda võimalust naturaalarvudega:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Seetõttu \(\sqrt{144}=12\).
Näide 2:
Mis on 100 kuupjuur?
Resolutsioon:
Helistame otsitavale numbrile x, st \(\sqrt[3] = x\). See tähendab, et \(x^3=100\). Testime mõnda võimalust:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Pange tähele, et otsime arvu, mis on vahemikus 4 kuni 5, as \(4^3=64\) see on \(5^3=125\). Niisiis, testime mõnda võimalust numbritega 4 ja 5 vahel:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Nagu \(4,6^3 \) on 100-le lähedane ja väiksem arv, võime öelda, et 4,6 on 100 kuupjuure lähendus. Seetõttu \(\sqrt[3]≈4,6\).
Tähtis:Kui juur on ratsionaalne arv, siis me ütleme, et juur on täpne; vastasel juhul pole juur täpne. Ülaltoodud näites määrame täpsete juurte vahelise vahemiku, kust otsitav juur leitakse:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
See strateegia on väga kasulik juure ligikaudsete väärtuste arvutamiseks.
Operatsioonid radikaalidega
Operatsioonides radikaalidega kasutame sama indeksiga termineid. Seda silmas pidades lugege hoolikalt järgmist teavet.
→ Radikaalide vaheline liitmine ja lahutamine
Radikaalide vahelise liitmise või lahutamise lahendamiseks peame arvutama iga radikaali juure eraldi.
Näited:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Tähtis: Radikaalide opereerimine liitmis- ja lahutamistehetes ei ole võimalik. Pange tähele, et näiteks operatsioon \(\sqrt4+\sqrt9\) tulemuseks on erinev arv \(\sqrt{13}\), isegi kui \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Korrutamine ja jagamine radikaalide vahel
Radikaalide vahelise korrutamise või jagamise lahendamiseks saame arvutada iga radikaali juure eraldi, kuid võime kasutada ka kiirgusomadusi, mida näeme allpool.
Näited:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Millised on kiirguse omadused?
→ Kiirguse omadus 1
Kui y on positiivne arv, siis n-s juur \(y^n\) on võrdne y-ga.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Vaata näidet:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Seda omadust kasutatakse laialdaselt radikaalidega avaldiste lihtsustamiseks.
→ Kiirguse omadus 2
Toote n-s juur \(y⋅z\) on võrdne y ja z n-nda juure korrutisega.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Vaata näidet:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Tähtis: Kui arvutame suure arvu juure, on see väga kasulik tegur (lagustab) radikandi algarvudeks ja rakendage omadusi 1 ja 2. Vaadake järgmist näidet, milles me tahame arvutada \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Nagu nii,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Kinnistu 3juurdumisest
Jagatise n-s juur \(\frac{y}z\), koos \(z≠0\), on võrdne y ja z n-nda juure jagatisega.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Vaata näidet:
\(\sqrt[a][\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Kiirguse omadus 4
Astendajaks m tõstetud y n-s juur on võrdne n-nda juurega \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Vaata näidet:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Vaata ka: Millised on potentseerimise omadused?
Lahendas harjutusi radiatsiooni kohta
küsimus 1
(FGV) Lihtsustamine \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), sa saad:
A) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Resolutsioon:
Alternatiiv C.
Pange tähele, et kiirgusomadusi kasutades on meil
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Seega saame väite avaldise ümber kirjutada kui
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Termini panemine \(\sqrt3\) tõendeid, järeldame sellest
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
2. küsimus
(Cefet) Millise arvuga peaksime korrutama arvu 0,75, et saadud korrutise ruutjuur oleks võrdne 45-ga?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Resolutsioon:
Alternatiiv A.
Otsitav number on x. Seega avalduse kohaselt
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Seetõttu
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0.75}\)
\(x = 2700\)
