Kompleksarvude uurimisel kohtame järgmist võrdsust: i2 = – 1.
Selle võrdsuse põhjendus on tavaliselt seotud negatiivsete ruutjuurtega 2. astme võrrandite lahendamisega, mis on viga. Avaldise päritolu i2 = - 1 esineb kompleksarvude määratluses, teine küsimus, mis tekitab samuti palju kahtlusi. Mõistkem sellise võrdsuse põhjust ja selle tekkimist.
Kõigepealt teeme mõned määratlused.
1. Järjestatud reaalarvude paari (x, y) nimetatakse kompleksarvuks.
2. Kompleksarvud (x1y1) ja (x2y2) on võrdsed siis ja ainult siis, kui x1 = x2 ja y1 = y2.
3. Kompleksarvude liitmine ja korrutamine on määratletud järgmiselt:
(x1y1) + (x2y2) = (x1 + x2y1 + y2)
(x1y1) * (x2y2) = (x1* x2 - jah1* y2, x1* y2 + y1* x2)
Näide 1. Mõelge z-le1 = (3, 4) ja z2 = (2, 5), arvutage z1 + z2 ja z1* z2.
Lahendus:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1* z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Kolmandat määratlust kasutades on lihtne näidata, et:
(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(x1, 0) * (x2, 0) = (x1* x2, 0)
Need võrdused näitavad, et liitmis- ja korrutamistoimingute korral käituvad kompleksarvud (x, y) nagu reaalarvud. Selles kontekstis saame luua järgmise seose: (x, 0) = x.
Kasutades seda suhet ja sümbolit i kompleksarvu (0, 1) tähistamiseks, võime kirjutada mis tahes kompleksarvu (x, y) järgmiselt:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → mis on kompleksarvu tavaline vormikõne.
Seega muutub kompleksarv (3, 4) normaalsel kujul 3 + 4i.
Näide 2. Kirjutage järgmised kompleksarvud tavalisel kujul.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Pange nüüd tähele, et nimetame i kompleksnumbriks (0, 1). Vaatame, mis juhtub i2 tegemisel.
Me teame, et i = (0, 1) ja et i2 = i * i. Järgige seda:
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1)
3. definitsiooni kasutades on meil:
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Nagu me varem nägime, on vormi iga kompleksarv (x, 0) = x. Seega
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Jõudsime kuulsasse võrdõiguslikkusse i2 = – 1.
Ärge lõpetage kohe... Peale reklaami on veel;)
Autor Marcelo Rigonatto
Statistika ja matemaatilise modelleerimise spetsialist
Brasiilia koolimeeskond
Kompleksarvud - Matemaatika - Brasiilia kool
