Juure paljusus

2. astme võrrandi x lahendamisel² - 6x + 9 = 0, leiame kaks juurt, mis on võrdne 3-ga. Lagunemisteoreemi abil arvutame polünoomi ja saame:
x² - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)²
Sel juhul ütleme, et 3 on valemi 2 korrutise juur või topeltjuur.
Seega, kui lahutatud polünoom annab järgmise avaldise:

Võime öelda, et:
x = -5 on juur, mille võrrand p (x) = 0 on 3 või 3
x = -4 on juur, mille arv on 2 või võrrandi p (x) = 0 topeltjuur
x = 2 on juur, mille arv on 1 või võrrandi p (x) = 0 lihtne juur
Üldiselt ütleme, et r on võrrandi p (x) = 0 korrutise juur, n = 1, kui:

Pange tähele, et p (x) jagub (x - r) -ga^m ja see, et tingimus q (r) ≠ 0 tähendab, et r ei ole q (x) juur, ja tagab, et juure r paljusus pole suurem kui m.
Näide 1. Lahendage x võrrand⁴ - 9x³ + 23x² - 3x - 36 = 0, arvestades, et 3 on topeltjuur.
Lahendus: p (x) on antud polünoom. Seega:

Pange tähele, et q (x) saadakse p (x) jagamisel (x - 3)².
Jagades Briot-Ruffini praktilise seadmega, saame:

Pärast jagamise teostamist näeme, et polünoomi q (x) koefitsiendid on 1, -3 ja -4. Seega on q (x) = 0: x

² - 3x - 4 = 0
Teiste juurte määramiseks lahendame ülaltoodud võrrandi.
x² - 3x - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 või x = 4
Seetõttu on S = {-1, 3, 4}
Näide 2. Kirjutage miinimumastmega algebraline võrrand nii, et 2 on topeltjuur ja - 1 on üksjuur.
Lahendus: peame:
(x - 2) (x - 2) (x - (-1)) = 0
Või

Autor Marcelo Rigonatto
Statistika ja matemaatilise modelleerimise spetsialist
Brasiilia koolimeeskond

Polünoomid - Matemaatika - Brasiilia kool

Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm