Edusammud: mis need on, tüübid, valemid, näited

Me teame kuidas progressioonid erijuhtumid arvude järjestused. Progressioone on kaks:

• aritmeetiline progressioon

• geomeetriline progressioon

Et olla progressioon, peame analüüsima jada omadusi, kui on olemas põhjus, mida me nimetame. kui progresseerumine on aritmeetika, põhjus pole midagi muud kui konstant, mille lisame terminile, et leida jadas järeltulija; nüüd, kui töötate progressiooniga geomeetriline, on mõistusel sarnane funktsioon, ainult sel juhul on põhjus konstantne termin, millega korrutame järjestuses termini, et leida selle järglane.

Tõttu ennustatav käitumine progresseerumise kohta on nendes järjestustes mis tahes termini leidmiseks spetsiifilised valemid, samuti on võimalik välja töötada a valem (st üks aritmeetilise progressiooni ja teine ​​geomeetrilise progressiooni jaoks) summa arvutamiseks Alatesei selle progressi esimesed tingimused.

Loe ka: Funktsioonid - mis need on ja milleks need on?

Oakogus saagi kohta käitub nagu geomeetriline progressioon

numbrijada

Progressioonide mõistmiseks peame kõigepealt mõistma, mis need on

arvude järjestused. Nagu nimigi ütleb, teame arvude järjestust a arvude komplekt, mis järgib järjekorda, on hästi määratletud või mitte. Erinevalt komplektid numbrid, kus järjekord ei ole oluline, numbrilises järjestuses on järjestus oluline, näiteks:

Järjestus (1, 2, 3, 4, 5) erineb järjestusest (5, 4, 3, 2, 1), mis erineb järjestusest (1, 5, 4, 3, 2). Isegi kui elemendid on samad, kuna järjestus on erinev, on meil järjestused erinevad.

Näited:

Saame kirjutada järjestusi, mille koosseise on lihtne näha:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → väiksemate või võrdsete 12-ga paarisarvude järjestus.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → paaritu arvu regressiivne jada vahemikus 17 kuni 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → tuntud kui Fibonacci järjestus.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 ...) → kuigi seda järjestust pole võimalik kirjeldada nagu teisi, on lihtne ennustada, millised on selle järgmised terminid.

Muudel juhtudel jadade väärtustes võib olla täielik juhuslikkus, igatahes on järjestuseks olemiseks oluline tellitud väärtuste komplekt.

kuni 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Nii palju kui pole võimalik ennustada, kes on b-tähe järgmised terminid, töötame ikkagi järjega.

Üldiselt, stringid on alati esitatud sulgudes (), järgmisel viisil:

(₁, a₂, The₃, a₄, The₅, a₆, a₇, a₈ …) → lõpmatu järjestus

(₁, a₂, The₃, a₄, The₅, a₆, a₇, a₈ … A_ei) → piiratud jada

Mõlemal on meil järgmine esindus:

The₁ → esimene ametiaeg

The₂ → teine ​​ametiaeg

The₃ → kolmas ametiaeg

.

.

.

The_ei → n-s ametiaeg

Vaatlus: On väga oluline, et jada esitamisel on andmed suletud. Järjestuse tähistamine on sageli segi aetud märkimisega. Komplekt on kujutatud sulgudes ja komplektis pole järjestus oluline, mis muudab sel juhul kogu erinevuse.

(1, 2, 3, 4, 5) → järjestus

{1, 2, 3, 4, 5} → määratud

On erijuhte, mida nimetatakse progressioonideks.

Vaadake ka: Mis on loendamise aluspõhimõte?

Mis on progressioonid?

Järjestust defineeritakse kui progresseerumist, kui sellel on a regulaarsus ühest terminist teise, tuntud kui põhjus. On kaks progresseerumise juhtumit, aritmeetiline ja geomeetriline progressioon. Et teada saada, kuidas neid kõiki eristada, peame mõistma, mis on progresseerumise põhjus ja kuidas see põhjus jada tingimustega suhtleb.

Kui jadas ühest terminist teise on mul a konstantne summa, on see järjestus määratletud progresseerumisena ja antud juhul on see a aritmeetiline progressioon. Seda väärtust, mida me pidevalt liidame, nimetatakse suhtarvuks. Teine juhtum, see tähendab, kui järjestus on a geomeetriline progressioon, ühest terminist teise on a korrutamine püsiväärtusega. Analoogselt on see väärtus geomeetrilise progressiooni suhe.

Näited:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16…) → pange tähele, et lisame alati 3 ühest terminist teise, seega on aritmeetiline suhe 3-ga.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000…) → sel juhul korrutame alati ühest terminist teise kümnega, käsitledes suhte 10 geomeetrilist progresseerumist.

c) (0, 2, 8, 26…) → viimasel juhul on ainult üks jada. Järgmise termini leidmiseks korrutame selle 3-ga ja lisame 2. Isegi kui järgmiste terminite leidmisel on seaduspärasus, on see ainult jada, mitte aritmeetiline või geomeetriline progressioon.

aritmeetiline progressioon

Kui töötame arvude järjestustega, on need järjestused, milles võime ennustada nende järgmisi termineid, üsna korduvad. Selle järjestuse klassifitseerimiseks a aritmeetiline progressioon, peab olema a põhjust a. Esimesest ametiajast alates on järgmine konstrueeritakse eelmise termini summa ja põhjus r.

Näited:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

See on jada, mida saab klassifitseerida aritmeetilise progresseerumisena, sest põhjus r = 3 ja esimene termin on 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 ...)

See jada on mõjuva põhjusega aritmeetiline progressioon. r = -5 ja selle esimene ametiaeg on 7.

• Lepingu tingimused

Paljudel juhtudel on meie huvi leida progressioonis konkreetne termin, ilma et peaksime kogu jada kirjutama. Teades esimese termini väärtust ja suhet, on aritmeetilises progressioonis võimalik leida mis tahes termini väärtus. Arimeetilise progressiooni tingimuste leidmiseks kasutame valemit:

The_ei =₁+ (n - 1) r

Näide:

Leidke P.A 25. ametiaeg, mille suhe on 3 ja esimene on 12.

Andmed r = 3,₁ = 12. Me tahame leida 25. termini, see tähendab n = 25.

The_ei =₁+ (n - 1) r

The₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

The₂₅ = 12 + 24 · 3

The₂₅ = 12 + 72

The₂₅ = 84

• P.A. üldine tähtaeg

Üldtermini valem on a viis AP-termini valemi lihtsustamiseks et leida mõni progressioonitermin kiiremini. Kui esimene termin ja põhjus on teada, piisab, kui valemis asendada termin P.A., et leida aritmeetilise progressiooni üldtermin, mis sõltub ainult ei.

Näide:

Leidke P.A. üldine mõiste, millel on r = 3 ja₁ = 2.

The_ei = 2 + (n -1) r

The_ei = 2 + (n-1) 3

The_ei = 2 + 3n - 3

The_ei = 2n - 1

See on P.A. üldtermin, mis aitab selles progressioonis leida mis tahes termini.

• Maksetingimuste summa

THE maksetingimuste summa oleks üsna vaevaline, kui oleks vaja leida kõik selle tingimused ja need kokku liita. Kõigi summa arvutamiseks on olemas valem ei aritmeetilise progressiooni esimesed tingimused:

Näide:

Leidke kõigi paaritu arvude summa vahemikus 1 kuni 100.

Me teame, et paaritu arv on suhte 2 aritmeetiline progressioon: (1, 3, 5, 7... 99). Selles progressioonis on 50 mõistet, kuna vahemikus 1 kuni 100 on pooled arvud paarisarvulised ja teine ​​paaritu.

Seetõttu peame:

n = 50

The₁ = 1

The_ei = 99

Juurdepääs ka: 1. astme funktsioon - aritmeetilise progresseerumise praktiline kasutamine

Geomeetriline progressioon

Stringi võib klassifitseerida ka prprogressioon geomeetriline (PG). Selleks, et jada oleks geomeetriline progressioon, peab sellel olema põhjus, kuid sellisel juhul täidame järgmise termini leidmiseks esimesest terminist suhte korrutamine eelmise terminiga.

Näited:

a) (3, 6, 12, 24, 48…) → suhte 2 geomeetriline progressioon ja selle esimene termin on 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000 ...) → suhte 10 geomeetriline progressioon ja selle esimene ametiaeg on 20.

• PG tähtaeg

Geomeetrilises progressioonis esindame tähe põhjust mida. Geomeetrilise progressiooni termini võib leida järgmise valemi abil:

The_ei =₁ · mida^{n - 1}

Näide:

Leidke PG kümnes ametiaeg, teades seda mida = 2 ja₁ = 5.

The_ei =₁ · mida^{n - 1}

The₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

The₁₀ = 5 · 2⁹

The₁₀ = 5 · 512

The₁₀ = 2560

• PG üldmõiste

Kui teame esimest mõistet ja põhjust, on võimalik genereerida üldtermini valem geomeetrilisest progressioonist, mis sõltub eranditult ei. Selleks peame lihtsalt asendama esimese termini ja suhtarvu ning leiame võrrandi, mis sõltub ainult ei.

Kasutades eelmist näidet, kus suhe on 2 ja esimene ametiaeg on 5, on selle GP üldine termin

The_ei =₁ · mida^{n - 1}

The_ei = 5 · 2^{n - 1}

• PG tingimuste summa

Kõigi progresseerumise tingimuste lisamine oleks palju tööd. Paljudel juhtudel on kogu jada kirjutamine selle summa saavutamiseks aeganõudev. Selle arvutamise hõlbustamiseks on geomeetrilises progressioonis valem, mille abil saab arvutada summa ei esimesed elemendid piiratud PG:

Näide:

Leidke GP esimese 10 ametiaja summa (1, 2, 4, 8, 16, 32…).

Pange tähele, et selle PG suhe on võrdne 2-ga.

The₁ = 1

mida = 2

ei = 10

Loe ka: Eksponentsiaalne funktsioon - geomeetrilise progresseerumise praktiline kasutamine

Harjutused lahendatud

Küsimus 1 - Teadlased jälgivad mõne päeva jooksul konkreetset bakterikultuuri. Üks neist analüüsib selle populatsiooni kasvu ja märkas, et esimesel päeval oli seal 100 bakterit; teises 300 bakterit; kolmandas 900 bakterit jne. Seda järjestust analüüsides võime öelda, et see on:

A) suhte 200 aritmeetiline progressioon.

B) suhte 200 geomeetriline progressioon.

C) põhjuse arimeetiline progressioon 3.

D) suhte 3 geomeetriline progressioon.

E) jada, kuid mitte progressioon.

Resolutsioon

Alternatiiv D

Järjestuse analüüsimisel on meil järgmised mõisted:

Pange tähele, et 900/300 = 3, samuti 300/100 = 3. Seetõttu töötame PG suhtega 3, kuna korrutame esimesest ametiajast kolmega.

2. küsimus - (Vaenlane - PPL) Jooksmise algaja jaoks oli ette nähtud järgmine päevane treeningplaan: esimesel päeval joosta 300 meetrit ja teisest tõusta 200 meetrit päevas. Oma soorituse arvestamiseks kasutab ta treeningul läbitud vahemaa mõõtmiseks tossu külge kinnitatud kiipi. Mõelge sellele, et see kiip salvestab oma mällu maksimaalselt 9,5 km jooksu / kõndimist ning tuleb paigutada treeningu algusesse ja pärast andmevaru tühjendamist ära visata. Kui see sportlane kasutab kiipi alates esimesest treeningpäevast, siis mitu päeva järjest suudab see kiip salvestada selle igapäevase treeningkava läbisõitu?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Resolutsioon

Alternatiiv B.

Olukorda analüüsides teame, et meil on PA, mille põhjus on 200 ja alglõpp võrdub 300-ga.

Lisaks teame, et summa S_ei = 9,5 km = 9500 meetrit.

Nende andmete abil leiame mõiste a_ei, mis on ladustamise viimasel päeval registreeritud kilomeetrite arv.

Samuti tasub meeles pidada, et mis tahes termin a_ei saab kirjutada järgmiselt:

The_ei =₁ + (n - 1)r

Arvestades võrrandit 200n² + 400n - 19000 = 0, võime jagada kõik mõisted 200-ga, lihtsustades võrrandit ja leides: n² + 2n - 95 = 0.

Delta ja Bhaskara jaoks peame:

a = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Me teame, et 8.75 vastab 8 päevale ja paarile tunnile. Sellisel juhul on mõõtmise päevade arv 8.

Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatikaõpetaja

Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm