O sfääri maht on selle poolt hõivatud ruum geomeetriline tahke. Läbi kiirte pall — ehk siis keskpunkti ja pinna vahelisest kaugusest — on võimalik arvutada selle ruumala.
Loe ka: Geomeetriliste tahkete ainete maht
Kokkuvõte sfääri ruumala kohta
Sfäär on a ümar keha mis saadakse poolringi pööramisel ümber diameetrit sisaldava telje.
Kõik sfääri punktid on sfääri keskpunktist võrdne või väiksem kui r.
Sfääri ruumala oleneb raadiuse mõõdust.
Sfääri ruumala valem on \(V=\frac{4·π·r^3}3\)
Videotund sfääri helitugevusest
Mis on sfäär?
Vaatleme punkti O ruumis ja lõiku mõõduga r. sfäär on tahkis, mille moodustavad kõik punktid, mis on O-st võrdne või sellest väiksema kaugusel. Nimetame O-d sfääri keskpunktiks ja r-d sfääri raadiuseks.
sfäär võib iseloomustada ka kui revolutsiooni tahket. Pange tähele, et poolringi pööramine ümber selle läbimõõduga telje moodustab sfääri:
Sfääri mahu valem
Sfääri ruumala V arvutamiseks kasutame allolevat valemit, kus r on sfääri raadius:
\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)
Oluline on jälgida
mõõtühik raadius mahu mõõtühiku määramiseks. Näiteks kui r on antud cm-des, tuleb ruumala esitada cm³-des.Kuidas arvutada sfääri mahtu?
Kera ruumala arvutamine sõltub ainult raadiuse mõõtmisest. Vaatame näidet.
Näide: Kasutades lähendust π = 3, leidke 24 sentimeetrise läbimõõduga korvpalli ruumala.
Kuna läbimõõt on raadiusest kaks korda suurem, on r = 12 cm. Rakendades sfääri ruumala valemit, saame
\(V=\frac{4·π·12^3}3\)
\(V=\frac{4 · π·1728}3\)
\(V = 6 912\ cm^3\)
sfääri piirkonnad
Vaatleme sfääri, mille keskpunkt on O ja raadius r. Nagu nii, võime käsitleda kolme piirkonda sellest sfäärist:
Sisemise piirkonna moodustavad punktid, mille kaugus keskpunktist on väiksem kui raadius. Kui P kuulub sfääri sisepiirkonda, siis
\(D(P, O)
Pinnapiirkonna moodustavad punktid, mille kaugus keskpunktist on võrdne raadiusega. Kui P kuulub sfääri pinnapiirkonda, siis
\(D(P, O)=r\)
Välise piirkonna moodustavad punktid, mille kaugus keskpunktist on suurem kui raadius. Kui P kuulub sfääri sisepiirkonda, siis
\(D(P, O)>r\)
Järelikult ei kuulu sfääri välispiirkonna punktid sfääri juurde.
Tea rohkem: Sfääriline kork – tahke aine, mis saadakse kera lõikuval tasapinnaga
Muud sfääri valemid
A sfääri ala — ehk selle pinna mõõtmisel — on ka teadaolev valem. Kui r on sfääri raadius, arvutatakse selle pindala A
\(A=4·π·r^2\)
Sel juhul on oluline märkida ka raadiuse mõõtühik, et näidata ala mõõtühikut. Näiteks kui r on sentimeetrites, peab A olema cm².
Lahendas harjutusi sfääri mahu kohta
küsimus 1
Kui suur on sfääri raadius, mille ruumala on 108 kuupsentimeetrit? (Kasutage π = 3).
a) 2 cm
b) 3 cm
c) 4 cm
d) 5 cm
e) 6 cm
Resolutsioon
Alternatiiv B.
Kaaluge seda r on sfääri raadius. Teades, et V = 108, saame kasutada sfääri ruumala valemit:
\(V=\frac{4·π·r^3}3\)
\(108=\frac{4·3·r^3}3\)
\(108=4·r^3\)
\(r^3=27\)
\(r = 3\ cm\)
küsimus 2
Iidse sfäärilise veehoidla läbimõõt on 20 meetrit ja maht V1. Soovitakse ehitada teine veehoidla mahuga V2, mille maht on kaks korda suurem kui vana reservuaar. Niisiis, V2 see on sama mis
) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)
B) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)
w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)
d) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)
See on) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)
Resolutsioon
E alternatiiv.
Kuna läbimõõt on raadiusest kaks korda suurem, on vana veehoidla raadius r = 10 meetrit. Seetõttu
\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)
\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)
\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)
Avalduse järgi, \(V_2=2·V_1\), st
\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)
Maria Luiza Alves Rizzo
Matemaatika õpetaja
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm