Harjutused PA ja PG kohta

Õppige samm-sammult lahendatud ja kommenteeritud harjutustega aritmeetikat ja geomeetrilist progressiooni.

1. harjutus

AP-s on a2 = 5 ja a7 = 15. Leidke a4 ja lisage selle AP viis esimest terminit.

vaata vastust

Õige vastus: a4 = 9 ja S = 35.

Resolutsioon

1. samm: määrake põhjus ja a4.
A2-st lahkumiseks ja punkti a7 jõudmiseks lisame 5r, kuna see on "kaugus" 7 ja 2 vahel.

a 7 alaindeksiga võrdub a 2 alaindeksiga pluss 5 r 15 tühik võrdub tühikuga 5 tühikuga pluss tühikuga 5 r 15 tühik miinus tühik 5 tühik võrdub 5 r 10 tühik võrdub tühikuga 5 r 10 üle 5 võrdub r 2 võrdub r

Mõiste a4 on termin a2 pluss 2r, sest a2-lt a4-le jõudmiseks "edeneb" 2r. Varsti

a 4 alaindeksiga võrdub a 2 alaindeksiga pluss 2 r a 4 alaindeksiga võrdub 5 tühikuga pluss tühik 2,2 a 4 alaindeksiga võrdub 5 tühikuga pluss tühik 4 tühikuga 9

Seetõttu on AP neljas liige 9.

2. samm: määrake selle AP esimese viie liikme summa.

AP tingimuste summa saadakse järgmiselt:

S võrdub lugeja vasakpoolse sulguga a 1 alaindeksiga pluss a n-i parempoolse sulguga. n üle nimetaja 2 murdosa lõpp

a1 = a2 - r (kuna me läheme PA-s ühe positsiooni tagasi, alustades a2-st)
a1 = 5 - 2 = 3

a5 = a7 - 2r (kuna me läheme PA-s kaks positsiooni tagasi, alustades a7-st).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11

S võrdub lugeja vasak sulg 3 tühik pluss tühik 11 parem sulg.5 üle nimetaja 2 murdosa lõpp võrdub lugeja 14 tühikuga. tühik 5 üle nimetaja 2 murdosa lõpp võrdub 70 üle 2 võrdub 35

2. harjutus

(Aeronautics 2021) Professor kirjutas 8-liikmelise suureneva aritmeetilise progressiooni, mis algas numbriga 3 ja koosnes ainult naturaalarvudest. Seejärel märkas ta, et selle aritmeetilise progressiooni teine, neljas ja kaheksas liige moodustasid selles järjekorras geomeetrilise progressiooni. Professor täheldas ka, et selle geomeetrilise progressiooni liikmete summa oli võrdne

instagram story viewer

a) 42
b) 36
c) 18
d) 9

vaata vastust

Vastus: a) 42

AP järgi on PG-d moodustavad terminid a2, a4 ja a8:

a 2 alaindeksiga võrdub a 1 alaindeksiga pluss vasak sulg n miinus 1 parem sulg r a 2 alamindeks võrdub 3 pluss vasak sulg 2 miinus 1 parem sulg r a 2 alaindeksiga võrdub 3 pluss r ruum

a 4 alaindeksiga võrdub a 1 alaindeksiga pluss vasak sulg 4 miinus 1 parem sulg r a 4 alaindeksiga võrdub 3 tühikuga pluss tühik 3 r

a 8 alaindeksiga võrdub 3 pluss vasak sulg 8 miinus 1 parem sulg r a 8 alaindeksiga võrdub 3 pluss 7 r

Kolme termini summa on:

S võrdub a 2 alaindeksiga pluss a 4 alaindeksiga pluss a 8 alaindeksiga S võrdub vasak sulg 3 pluss r parem sulg tühik pluss tühik vasak sulg 3 pluss 3 r sulg parem tühik pluss tühik vasak sulg 3 pluss 7 r parem sulg S võrdub 9 tühikuga pluss tühik 11 r tühik tühik vasak sulg ja Qu a tion space I sulg õige

R määramiseks kasutame geomeetrilist keskmist:

a 4 alaindeksiga võrdub ruutjuurega a 2 alaindeksiga. a 8 alaindeksiga juure 3 ots pluss 3 r võrdub ruutjuurega vasakpoolsest sulust 3 pluss r parempoolsest sulust. vasak sulg 3 pluss 7 r parem sulg juureots

Mõlema külje ruut

vasak sulg 3 pluss 3 r parem sulg ruudus võrdub vasak sulg 3 pluss r parem sulg. vasak sulg 3 pluss 7 r parem sulg

Esimese liikme kvadratuur ja teise liikme jaotamine:

vasak sulg 3 pluss 3 r parem sulg ruudus võrdub vasak sulg 3 pluss r parem sulg. vasak sulg 3 pluss 7 r parem sulg 9 tühik pluss tühik 18 r tühik pluss tühik 9 r ruudus võrdub 9 tühik pluss tühik 21 r tühik pluss tühik 3 r tühik pluss tühik 7 r ruudus 9 r ruudus miinus 7 r ruudus võrdub 24 r ruum miinus ruum 18 r ruum pluss ruum 9 tühik miinus ruum 9 2 r ruudus võrdub 6 r r ruudus võrdub 3 r a. r ruum võrdub tühikuga 3 r r ruum võrdub lugejaga 3 r üle nimetaja r murdosa lõpp võrdub 3

Asendades r võrrandis I, saame:

S tühik võrdub tühik 9 tühik pluss tühik 11 r S tühik võrdub tühik 9 tühik pluss tühik 11,3 S ruum võrdub tühik 9 tühik pluss tühik 33 S ruum võrdub tühikuga 42

Seetõttu on esimese kolme liikme summa 42.

3. harjutus

(PM-SP 2019) 2015. aastal alustas suur naftafirma osade jahutamiseks kasutatud vee taaskasutamist. toodetud ja prognoositud korduskasutava vee koguse järkjärguline suurenemine aasta-aastalt aritmeetilises progressioonis kuni aastani 2050 aastal.

Tabelis on näidatud esimese 3 aasta taaskasutatud vee kogused:

Olgu An aritmeetilise progressiooni üldliige, mis näitab taaskasutatud vee mahtu miljonites m³, kui n = 1, tähistab 2016. aastal taaskasutatud vee mahtu, n = 2, mis tähistab 2017. aastal taaskasutatud vee mahtu jne järjestikku.

Nendel tingimustel peab

a) An = 0,5n – 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 – 0,5n.
e) An = 0,5n - 23.

vaata vastust

Õige vastus: c) An = 0,5n + 23.

objektiivne
Määrake An funktsioonina n-st.

Resolutsioon
Aritmeetilise progressiooni suhe on 0,5, sest 24 - 23,5 = 0,5.

a1 = 23,5

AP üldise termini annab:

A koos n-ga võrdub tühikuga a 1 alaindeksiga tühikuga pluss tühikuga vasak sulg n miinus 1 parem sulg r

Väärtuste asendamine:

A koos n-ga võrdub 23 komaga 5 tühik pluss tühik 0 koma 5 n tühik miinus tühik 0 koma 5 A n-i alaindeksiga võrdub 0 komaga 5 n pluss 23 tühikuga

4. harjutus

(CEDERJ 2021) Jada (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) on suhte 6 aritmeetiline progressioon. Selle progressi neljas liige on

a) 31.
b) 33.
c) 35.
d) 37.

vaata vastust

Õige vastus: a) 31

Resolutsioon
r tühik võrdub tühikuga a 2 alaindeksiga miinus a 1 alaindeksiga 6 tühik võrdub tühikuga 3 x pluss 4 tühikuga miinus sulud vasak 2x pluss 3 sulg parem 6 võrdub 3x pluss 4 miinus 2x miinus 3 6 võrdub x pluss 1x võrdub 6 miinus 1x võrdub 5

Neljas liige on a3 + r, selline:

a 4 alaindeksiga võrdub a 3 alaindeksiga pluss r a 4 alaindeksiga võrdub 4 x tühik pluss tühik 5 tühik pluss tühik r

Leitud väärtuste asendamine:

a 4 alaindeksiga võrdub 4,5 tühikuga pluss tühikuga 5 tühikuga pluss tühikuga 6 a 4 alaindeksiga võrdub 20 pluss tühikuga 5 tühikuga pluss tühikuga 6 a 4 alaindeksiga võrdub 31

5. harjutus

(Enem 2021) Brasiilias aeg, mis kulub õpilasel koolituse läbimiseks kuni kõrgema kursuse lõpetamiseni, arvestades 9 aastat põhikooli, 3 aastat keskkooli ja 4 aastat kooli lõpetamist (keskmine aeg), on see 16 aastat vana. Brasiillaste tegelikkus näitab aga, et üle 14-aastaste keskmine õppimise aeg on endiselt väga väike, nagu näitab tabel.
Küsimuse lahendamisega seotud tabel.

Mõelge, et nende inimeste õppeaja pikenemine igal perioodil jääb samaks kuni aastani 2050 ja see on ette nähtud 70% tasemeni kõrgema kursuse omandamiseks kuluvast ajast varem.
Aasta, mil üle 14-aastaste keskmine õppeaeg saavutab soovitud protsendi

a) 2018.
b) 2023.
c) 2031.
d) 2035.
e) 2043.

vaata vastust

Õige vastus: d) 2035.

1. osa: määra 70% 16-st.

70 protsenti märgiruum 16 tühik võrdub tühikuga 70 üle 100 korrutamismärk 16 võrdub 1120 üle 100 võrdub 11 punktiga 2

2. osa: määrake, mitme perioodi järel jõuab 11,2 õppeaastani.

Uuringu ajajada on aritmeetiline progressioon (AP) suhtega 0,6.

r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

a1 = 5,2

Summa 11,2 aastat saavutatakse:

A koos n-ga võrdub a-ga 1 alaindeksiga pluss tühik vasak sulg n miinus 1 parem sulg r 11 koma 2 võrdub 5 koma 2 pluss vasak sulg n miinus 1 parem sulg 0 koma 6 11 koma 2 võrdub 5 komaga 2 pluss 0 koma 6 n miinus 0 koma 6 11 koma 2 miinus 5 koma 2 pluss 0 koma 6 võrdub 0 koma 6 n 6 pluss 0 koma 6 võrdub 0 koma 6 n 6 koma 6 võrdub 0 koma 6 n lugeja 6 koma 6 nimetaja kohal 0 koma 6 murdosa lõpp võrdub n 11 võrdne n-ga

Summa 11,2 saavutatakse PA 11. ametiajal.

3. osa: tee kindlaks, milline on PA aastate 11. ametiaeg.

Suhe on a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 aastat

A 11 alaindeksiga võrdub a 1 alaindeksiga pluss vasak sulg n miinus 1 parem sulg r A 11 alaindeksiga võrdub 1995 pluss vasak sulg 11 miinus 1 parem sulg 4 A 11 alaindeksiga võrdub 1995 pluss 10,4 A 11 alaindeksiga võrdub 1995 tühikuga pluss tühik 40 A 11 alaindeksiga võrdub 2035

Järeldus
70% bakalaureuseõppe lõpetamiseks nõutavast 16 aastast saavutatakse 2035. aastal.

6. harjutus

(Tuletõrje 2021) Lennukil ja tuletõrjeautol on veereservuaarid mahuga vastavalt 12 000 ja 8000 liitrit vett. Veokil on 2,5 GPM pump, mis tähendab, et see on võimeline pumpama 2,5 gallonit minutis.

Selle hüpoteetilise olukorra põhjal otsustage järgmiselt, arvestades, et 1 gallon võrdub 3,8 liitri veega.

Kui veepaagi maht on X tuhat liitrit, nii et 8, X ja 12 on geomeetrilises progressioonis, selles järjekorras, siis on selle paagi maht alla 10 tuhande liitri.

Õige

Vale

vaata vastust

Õige vastus: õige

objektiivne
Kontrollige, kas X < 10.

Resolutsioon
Geomeetrilises progressioonis PG on keskmine liige äärmuste vaheline geomeetriline keskmine.

X väiksem kui ruutjuur 8,12 juure lõpp X ruum väiksem kui ruutjuur 96-st

Tegelikult on 96 ligikaudne ruutjuur 9,79. Järeldame, et paagi maht X on alla 10 tuhande liitri.

7. harjutus

(Aeronautics 2021) Olge P.G. (24, 36, 54, ...). Lisades selle G.P. 5. ja 6. on olnud

a) 81/2
b) 405/2
c) 1215/4
d) 1435/4

vaata vastust

Õige vastus: c) 1215/4

objektiivne
Lisage a5 + a6

Resolutsioon

1. samm: määrake suhe q.

PG põhjus on:

q võrdub a 2-ga alaindeksiga a-ga 1-ga võrdub 36-ga 24-ga võrdub 3-ga 2-ga

2. samm: määrake a5

a4 = a3. q
a5 = a4. q

A4 asendamine a5-ga:

a 5 alaindeksi tühikuga võrdub tühikuga a 3 alaindeksi tühikuga. tühik q ruum. tühik q tühik võrdub tühikuga a 3 alaindeksi tühikuga. tühik q ruudus

3. samm: määrake a6

a6 = a5. q

A5 asendamine a6-ga:

a 6 alaindeksiga võrdub a 5 alaindeksiga. tühik q tühik võrdub tühikuga a 3 alaindeksi tühikuga. tühik q ruum ruudus. tühik q tühik võrdub tühikuga a 3 alaindeksi tühikuga. tühik q kuubik

4. samm: lisage arvväärtuste asemel a5 + a6.

a 5 indeksiga pluss a 6 alaindeksiga võrdub a 3 alaindeksiga. q tühik ruudus pluss tühik a 3 alaindeksiga. q kuubik a 5 alaindeksiga pluss a 6 alaindeksiga võrdub 54 tühikuga. tühik avab sulu 3 üle 2 sulgeb sulu ruudus pluss tühik 54 tühik. tühik avab sulgud 3 üle 2 sulgeb sulud kuubikuga a 5 alaindeksiga pluss a 6 alaindeksiga võrdub 54 tühikuga. ruumi 9 üle 4 ruumi pluss ruumi 54 ruumi. ruumi 27 üle 8

Tõendamaks 54:

a 5 alaindeksiga pluss a 6 alaindeksiga võrdub 54 tühik avab sulud 9 üle 4 tühiku pluss tühik 27 üle 8 sulgeb sulgud a 5-ga pluss a 6-ga võrdub 54-ga avab sulgude lugeja 9 ruumi. tühik 8 üle nimetaja 4 tühik. tühik 8 murdosa lõpp pluss tühik lugeja 27 tühik. tühik 4 üle nimetaja 4 tühik. tühik 8 murdosa lõpp sulgeb sulgud a 5-ga pluss a 6-ga võrdub 54 avab sulgud 72 üle 32 pluss 108 üle 32 sulgeb sulgud a 5 alaindeksiga pluss a 6 alaindeksiga võrdub 54 avab sulgud 180 üle 32 sulgeb sulgud a 5 alaindeksiga pluss a 6 alaindeksiga võrdub 54 ruumi. tühik 180 üle 32 võrdub 9720 üle 32 võrdub 1215 üle 4

Harjutus 8

(UERJ 2019) Allpool kujutatud kolmnurkadel A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3 on perimeetrid vastavalt p1, p2, p3. Nende kolmnurkade tipud, alates teisest, on eelmise kolmnurga külgede keskpunktid.

tunnista seda virn A 1 alaindeksiga B 1 kaldkriipsuga virna kohal B 1 alaindeksiga C 1 alaindeksiga kaldkriipsuga ülal võrdub 7 tühikuga ja tühikuvirn A 1 alaindeksiga C ja 1 kaldkriipsuga üleval on võrdub 4 .

Seega (p1, p2, p3) määratleb järgmise progressi:

a) suhtarvu aritmeetiline = – 8
b) suhtarvu aritmeetiline = – 6
c) geomeetriline suhe = 1/2
d) geomeetriline suhe = 1/4

vaata vastust

Õige vastus: c) geomeetriline suhe = 1/2

Resolutsioon

1. samm: määrake perimeetrid p1, p2 ja p3.

p 1 alaindeksiga võrdub tühikuvirn A ja 1 kaldkriipsuga B koos 1 alaindeksiga pluss tühikupinn B 1 alaindeksiga C 1 kaldkriipsuga alaindeksiga pluss virn A 1 alaindeksiga C 1 alaindeksiga kaldkriipsuga p ja 1 alaindeksiga võrdub 7 tühikuga pluss tühikuga 7 tühikuga pluss tühikuga 4 p 1 alaindeksiga võrdub 18

Paralleelsuse abil kontrollime, et sisemise kolmnurga küljed on pooled vahetult välisest kolmnurgast.

Näiteks B2A2 = A1C2

Seega on p2 pool p1-st, nii nagu p3 on pool p2-st. Meil on:

p 2 alaindeksiga võrdub p 1 alaindeksiga jagatuna 2-ga võrdub 9 ja p 3 alaindeksiga võrdub p 2 alaindeksiga jagatuna 2-ga võrdub 9 tühikuga jagatud 2-ga võrdub 4 komaga 5

2. samm: pange progresseerumine kokku ja klassifitseerige see.

p 1 alaindeksiga koma tühi p 2 alaindeksiga koma tühi p 3 alaindeksiga tühik võrdub tühikuga 18 komavahega 9 komavahega 4 komaga 5

Selgub, et p2 määramiseks korrutatakse 18 1/2-ga.

18 tühiku korrutusmärk tühik 1 pool võrdub 9-ga

Samuti on 9 korrutatud 1/2-ga 4,5.

9 tühiku korrutusmärk tühik 1 pool võrdub 9 üle 2 võrdub 4 komaga 5

Järeldus
Kontrollime, et progressioon on geomeetriline, suhtega 1/2.

9. harjutus

(Enem 2021) Graafik näitab tootmisharu registreeritud toodangut jaanuaris, märtsis ja aprillis.

Logistiliste probleemide tõttu jäi veebruari kuu toodanguülevaade tegemata. Ülejäänud kolme kuu teave viitab aga sellele, et toodang kasvas sellel neljakuulisel perioodil plahvatuslikult, nagu näitab graafikul näidatud trendikõver.

Eeldades, et selle perioodi kasv oli eksponentsiaalne, võib järeldada, et selle tööstusharu toodang veebruaris tuhandetes ühikutes oli

a) 0.
b) 120.
c) 240.
d) 300.
e) 400.

vaata vastust

Õige vastus: c) 240.

Resolutsioon

PG üldliige on eksponentsiaalne a n-i funktsioonina, kus a1 ja q on konstantsed arvud.