Kujutage ette, et mängite marmorist kolmnurkade moodustamiseks. Kõigepealt võite mõelda, et pall on nagu väike kolmnurk:
•
Seejärel asetate nende alla kaks marmorit ja moodustate a kolm tippu kolmnurk:
•
• •
Kui asetate nende alla veel kolm palli, moodustab see teise kolmnurga:
•
• •
• • •
Igas pallide lisamise etapis, võrreldes eelnevalt asetatud kogusega, moodustuvad alati kolmnurgad. Vaadake kolmnurka, mis moodustub nelja palli lisamisel:
•
• •
• • •
• • • •
Pallide koguarv igas etapis iseloomustab numbrite klassi, mida nimetatakse kolmnurksed numbrid. Matemaatik Karl Friedrich Gauss avastas valemi, mis näitab iga kolmnurga kogusummat, kus s1vastas esimesele kolmnurgale, s2, teise kolmnurgani ja nii edasi. Gaussi kirjeldatud summad algasid a ja, igas etapis lisati number, mis vastas ühele ühikule viimati lisatud numbrist kõrgemale:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Nende summade tulemuseks olid kolmnurksed numbrid: 1, 3, 6, 10, 15... Pange tähele, et igas neist summadest on kehtestatud muster. Hoolikalt vaadates näeme, et igaüks neist on a
aritmeetiline progressioon põhjusest 1. Nii et siin on gaussi summa, mis määrab, et konstantse suhte summas, kui liidame esimese elemendi viimasele, saame sama tulemuse kui teise elemendi lisamisel eelviimasele. Vaatame, kuidas Gaussi summade protsess toimub. s6 ja s7:
Kolmnurkarvude summale rakendatud Gaussi summa protsess
Ära nüüd lõpeta... Peale reklaami on veel midagi ;)
kui peatus s6 ja s7 meil on ülaloleval pildil olevad summad, reprodutseerime selle summa jaoks s8, S9, S10 ja s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Summa saamiseks võime üldistada sei:
sei = n. (n+1), kui n on paaris
2
sei = (n - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, kui n on paaritu
2 2
täpselt nagu sisse numbrimaagia, saame näidata veel üht huvitavat fakti kolmnurkarvude kohta: järgnevate kolmnurkarvude summa tulemuseks on alati arvud, mida saab klassifitseerida täiuslikeks ruutudeks, st arvud, millel on juur ruut. Vaatame:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
Saadud tulemused 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ja 121 on kõik täiuslikud ruudud.
Autor Amanda Gonçalves
Lõpetanud matemaatika eriala
Kas soovite sellele tekstile viidata koolis või akadeemilises töös? Vaata:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Kolmnurksed numbrid"; Brasiilia kool. Saadaval: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Sissepääs 27. juulil 2021.
