mõistmine komplektid on uuringu peamine alus algebra ja matemaatikas väga olulised mõisted, näiteks funktsioone ebavõrdsus. Komplektide puhul kasutatav tähistus on alati meie tähestiku suur täht (nt komplekt A või komplekt B).
Seoses komplektide kujutamine, seda saab teha Venni diagramm, kirjeldades lihtsalt selle elementide omadusi, loendades elemente või kirjeldades nende omadusi. Komplektidega seotud probleemidega töötamisel on olukordi, mis nõuavad nende täitmist toimingud komplektide vahel, olles liit, ristmik ja erinevus. Kas uurime seda kõike üksikasjalikult?
Vaadake ka: Numbrilised väljendid - õppige neid lahendama!
Komplektide tähistamine ja esitamine
Hulga kujutamiseks kasutame alati a tähestiku suurtähtja elemendid on alati vahel võtmeid ja on eraldatud komaga. Näiteks paarisarvude hulga esindamiseks, mis on suurem kui 1 ja väiksem kui 20, kasutame järgmist märget: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Komplektide esitamise vormid
esindamine loendamise teel: saame loendada selle elemendid, see tähendab koostada loendi alati trakside vahel. Vaadake näidet:
A = {1,5,9,12,14,20}
tunnuste kirjeldamine: saame lihtsalt kirjeldada hulga omadust. Näiteks olgu X komplekt, meil on see, et X = {x on 5 positiivse arvu kordne}; Y: on aasta kuude kogum.
Venni diagramm: komplekte saab esitada ka skeemi kujul, mida tuntakse kui a Venni diagramm, mis on toimingute sooritamiseks tõhusam esindus.
Näide:
Arvestades komplekti A = {1,2,3,4,5}, võime seda esitada järgmises Venni diagrammis:
Komplekti ja liikmesuse elemendid
Mis tahes elementi arvestades võime öelda, et element kuulub komplektile või ei kuulu selle komplekti juurde. Selle liikmesuse kiiremaks esindamiseks kasutame sümboleid
(loetakse kuuluvaks) ja ∉ (loetakse mittekuuluvaks). Näiteks olgu P komplekt paarinumbrid, võime öelda, et 7 ∉ P ja see 12 P.
Ärge lõpetage kohe... Peale reklaami on veel;)
Hulkade võrdsus
Hulkade võrdlemine on vältimatu, seega võime öelda, et kaks komplekti on võrdsed või mitte, kontrollides iga selle elementi. Olgu A = {0,1,3,4,8} ja B = {8,4,3,1,0}, isegi kui elemendid on erinevas järjekorras, võime öelda, et hulgad A ja B on võrdsed: A = B.
Kaasamise suhe
Kahe hulga võrdlemisel võime kohata mitmeid seoseid ja üks neist on kaasamise suhe. Selle suhte jaoks peame teadma mõnda sümbolit:
⊃ → sisaldab ⊂→ sisaldub
⊅ → ei sisalda ⊄→ei sisaldu
Nõuanne: sümboli avanev külg on alati suunatud suurema komplekti poole. |
Kui hulga A kõik elemendid kuuluvad ka hulka B, siis ütleme, et A ⊂ B või et A sisaldub B-s. Näiteks A = {1,2,3} ja B = {1,2,3,4,5,6}. Esindust on võimalik teostada ka Venni diagramm, mis näeks välja selline:
A sisaldub B-s:
A ⊂ B
Alamhulgad
Kui kaasamise suhe, see tähendab, et komplekt A sisaldub komplektis B, võime öelda, et A on B alamhulk. Alamhulk jääb komplektiks ja a komplektil võib olla mitu alamhulka, mis on ehitatud selle juurde kuuluvatest elementidest.
Näiteks: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} sisaldab alamhulkadena komplekte B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} ja isegi hulk A {1,2,3,4,5,6,7,8}, see tähendab, et A on tema enda alamhulk.
ühtne komplekt
Nagu nimigi juba ütleb, on see see komplekt on ainult üks elementnagu varem näidatud komplekt D: {1}. Arvestades komplekti B: {1,2,3}, on meil alamhulgad {1}, {2} ja {3}, mis on kõik üksuste komplektid.
TÄHELEPANU: Hulk E: {0} on ühtne komplekt, kuna sellel on üks element "0" ja see pole tühi komplekt.
Loe ka: Täisarvude komplekt - elemendid ja tunnused
tühi komplekt
Veelgi sugestiivsema nime korral pole tühjal hulgal elemente ja see on mis tahes hulga alamhulk. Tühja komplekti tähistamiseks on kaks võimalikku esitust, need on V: {} või sümbol Ø.
Osade komplektid
Osade komplektidena tunneme kõiki antud kogumi võimalikke alamhulki. Olgu A: {1,2,3,4}, saame loetleda selle hulga A kõik alamhulgad, alustades sellest pole ühtegi elementi (tühi) ja siis need, millel on üks, kaks, kolm ja neli elementi, vastavalt.
tühi komplekt: { };
Ühikute komplektid: {1}; {2};{3}; {4}.
Kahe elemendiga komplektid: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
kolme elemendiga komplektid: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Komplekt nelja elemendiga: {1,2,3,4}.
Seetõttu võime kirjeldada A osade komplekti järgmiselt:
P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
Et teada saada, mitu osa on võimalik komplekti jagada, kasutame valemit:
n [P (A)] = 2ei
A osade arvu arvutab a potentsi alus 2 tõstetud ei, mille kohta ei on komplekti elementide arv.
Vaatleme komplekti A: {1,2,3,4}, millel on neli elementi. Selle komplekti võimalike alamhulkade koguarv on 24 =16.
Loe ka: Mis on irratsionaalsete arvude hulk?
Lõplik ja lõpmatu komplekt
Komplektidega töötades leiame komplektid, mis on piiratud (piiratud) ja need, kes on piiramatu (lõpmatu). Komplekt paaris- või paaritu arvon näiteks lõpmatu ja selle esitamiseks kirjeldame mõningaid selle elemente järjestuses, nii et on võimalik ennustada, millised on järgmised elemendid, ja me paneme ellipsid Lõplik.
I: {1,3,5,7,9,11 ...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
Lõplikus komplektis ei pane me ellipse siiski lõppu, kuna sellel on määratletud algus ja lõpp.
V: {1,2,3,4}.
universumi komplekt
O universumi komplekt, tähistatud U, on määratletud kui komplekt, mille moodustavad kõik elemendid, mida tuleb probleemi sees arvesse võtta. Kõik elemendid kuuluvad universumikomplekti ja kõik komplektid kuuluvad universumikomplekti.
Toimingud komplektidega
Tehingud komplektidega on: liitumine, ristmik ja erinevus.
Komplektide ristumiskoht
Ristumine toimub siis, kui elemendid kuuluvad üheaegselt ühte või mitmesse komplekti. A∩B kirjutamisel otsime elemente, mis kuuluvad nii komplekti A kui ka komplekti B.
Näide:
Vaatleme A = {1,2,3,4,5,6} ja B = {2,4,6,7,8}. Nii hulga A kui ka komplekti B kuuluvad elemendid on: A∩B = {2, 4,6}. Selle toimingu esitamine toimub järgmiselt:
A∩B
Kui komplektidel pole ühiseid elemente, on need tuntud kui lahknevad komplektid.
A∩B = Ø
erinevus komplektide vahel
arvutama erinevus kahe komplekti vahel on otsida elemente, mis kuuluvad ainult ühte kahest komplektist. Näiteks on A - B vastuseks komplekt, mis koosneb elementidest, mis kuuluvad komplekti A ja ei kuulu komplekti B.
Näide: A: {1,2,3,4,5,6} ja B: {2,4,6,7,8}. Pange tähele, et A ∩ B = {2,4,6}, seega on meil järgmine:
a) A - B = {1,3,5}
b) B - A = {7,8}
Ühtsus
Kahe või enama hulga liit on oma tingimustega liitumine. Kui on elemente, mida mõlemas komplektis korratakse, kirjutatakse need ainult üks kord. Näiteks: A = {1,2,3,4,5} ja B = {4,5,6,7,10,14}. Liidu esindamiseks kasutame sümbolit (loeb: Liit B-ga).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Nende toimingute kohta lisateabe saamiseks ja mitme lahendatud harjutuse vaatamiseks lugege järgmist: Toimingud komplektidega.
Morgani seadused
Olgu A ja B kaks komplekti ja U olgu universumi hulk, Morgani seadustega on kaks omadust, nimelt:
(A U B)ç = Aç ∩Bç
(A ∩ B)ç = Aç U Bç
Näide:
Arvestades komplekte:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
V: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Kontrollime seda (A U B)ç = Aç ∩Bç. Niisiis, peame:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Seetõttu (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Võrdsuse tõesuse kontrollimiseks analüüsime operatsiooni Aç ∩Bç:
THEç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Siis, THEç ∩Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Aç ∩Bç
lahendatud harjutused
01) Vaatleme U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} ja B: {4,5,6, 7,8,9}. Näita, et (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
Resolutsioon:
1. samm: leidke (A ∩ B)ç. Selleks on meil A ∩ B = {4,5,6}, seega (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2. samm: Leiaç U Bç. THEç: {7,8,9,10} ja Bç: {1,2,3,10}, seega Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
On näidatud, et (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
02) Teades, et A on paarisarvude kogum vahemikus 1 kuni 20, siis kui suure hulga alamhulkade saame selle hulga elementidest ehitada?
Resolutsioon:
Olgu P kirjeldatud kirjeldus, meil on see P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Seetõttu on P elementide arv 10.
Osade teooria järgi on P võimalike alamhulkade arv:
210=1024
Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatikaõpetaja
(PUC-Rio-2009) 100 õpilasega koolis meeldib 80 šokolaadijäätist, 70 koorejäätist ja 60 mõlemat maitset. Kui paljudele õpilastele kumbki maitse ei meeldi?
(PUC) Turu-uuringute käigus selgus, et 15 inimest kasutab vähemalt ühte toodet A või B. Kui teadsite, et 10 neist inimestest ei kasuta toodet B ja 2 neist ei kasuta toodet A, kui paljud inimesed kasutavad tooteid A ja B?
