Sarruse reegel. Determinant ja Sarruse reegel

Iga ruutmaatriksi saab seostada arvuga, mis saadakse selle maatriksi elementide vahel tehtud arvutustest. Seda numbrit nimetatakse determinant.

Ruutmaatriksi järjekord määrab selle determinandi arvutamiseks parima meetodi. Näiteks 2. järku maatriksite jaoks piisab, kui leida erinevus põhidiagonaali elementide korrutise ja sekundaardiagonaali elementide korrutise vahel. 3x3 maatriksite puhul saame rakendada Sarruse reeglit või isegi Laplace'i teoreem. Tasub meeles pidada, et viimast saab kasutada ka 3-st suurema järgu ruutmaatriksite determinantide arvutamiseks. Konkreetsetel juhtudel saab determinandi arvutamist lihtsustada vaid mõne võrra määravad omadused.

Et mõista, kuidas determinant Sarruse reegliga arvutatakse, kaaluge järgmist 3. järgu maatriksit A:

Järjekorra 3 maatriksi esitus

Esialgu korratakse kahte esimest veergu maatriksist A paremal:

Peame kordama kaks esimest veergu maatriksist paremal

Seejärel korrutatakse põhidiagonaali elemendid. Seda protsessi tuleb teha ka põhidiagonaalist paremal asuvate diagonaalidega, et oleks võimalik lisama nende kolme diagonaali korrutised:

det A_jaoks = The₁₁.The₂₂.The₃₃ +₁₂.The₂₃.The₃₁ +₁₃.The₂₁.The₃₂

Peame lisama põhidiagonaalide tooted

Sama toiming tuleb läbi viia sekundaarse diagonaaliga ja teiste diagonaalidega sellest paremal. Siiski on see vajalik lahutada leitud tooted:

det A_s = - a₁₃.The₂₂.The₃₁ - a₁₁.The₂₃.The₃₃ - a₁₂.The₂₁.The₃₃

Peame sekundaarsetest diagonaalidest lahutama tooted

Ühendades need kaks protsessi, on võimalik leida maatriksi A determinant:

det A = det A_jaoks + koht A_s

det A = The₁₁.The₂₂.The₃₃ +₁₂.The₂₃.The₃₁ +₁₃.The₂₁.The₃₂- a₁₃.The₂₂.The₃₁ - a₁₁.The₂₃.The₃₃ - a₁₂.The₂₁.The₃₃

Sarruse reegli rakendamise esitus

Nüüd vaadake järgmise maatriksi B determinandi arvutamist suurusjärgus 3x3:

Maatriksi B determinandi arvutamine Sarruse reegli abil

Sarruse reeglit kasutades arvutatakse maatriksi B determinand järgmiselt:

Sarruse reegli rakendamine maatriksi B determinandi leidmiseks

det B = B₁₁.B₂₂.B₃₃ + b₁₂.B₂₃.B₃₁ + b₁₃.B₂₁.B₃₂- B₁₃.B₂₂.B₃₁ - B₁₁.B₂₃.B₃₃ - B₁₂.B₂₁.B₃₃

det B = 1.3.2 + 5.0.4 + (–2).8.(–1) – (–2).3.4 – 1.0.(–1) – 5.8.2

det B = 6 + 0 + 16 – (–24) – 0 – 80

det B = 22– 56

det B = – 34

Seetõttu on Sarruse reegli kohaselt maatriksi B determinant – 34.

Autor Amanda Gonçalves
Lõpetanud matemaatika eriala

Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-sarrus.htm