Aritmeetiline progressioon (P.A.)

THE Aritmeetiline progressioon (P.A.) on arvude jada, kus kahe järjestikuse termini erinevus on alati sama. Seda pidevat erinevust nimetatakse P.A.

Seega on jada teisest elemendist alates ilmuvad numbrid konstandi summa summa eelmise elemendi väärtusega.

See eristab seda geomeetrilisest progressioonist (PG), sest selles korrutatakse arvud suhtega, samal ajal kui aritmeetilises progressioonis lisatakse need.

Aritmeetilistel progressioonidel võib olla kindel arv termineid (piiratud P.A.) või lõpmatu arv termineid (lõpmatu P.A.).

Et näidata, et järjestus jätkub lõputult, kasutame näiteks ellipse:

• järjestus (4, 7, 10, 13, 16, ...) on lõpmatu P.A ..
• järjestus (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) on piiratud P.A.

Iga P.A. tähis on identifitseeritud positsiooni järgi, mille ta järjestuses võtab ja iga mõiste tähistamiseks kasutame tähte (tavaliselt tähte The), millele järgneb number, mis näitab selle asukohta järjestuses.

Näiteks termin The₄ P.A-s (2, 4, 6, 8, 10) on number 8, kuna see on järjestuses 4. positsioonil olev number.

P.A. klassifikatsioon

Suhte väärtuse järgi klassifitseeritakse aritmeetilised progressioonid:

• Pidev: kui suhe on võrdne nulliga. Näiteks: (4, 4, 4, 4, 4 ...), kus r = 0.
• Kasvav: kui suhe on suurem kui null. Näiteks: (2, 4, 6, 8,10 ...), kus r = 2.
• laskuv: kui suhe on väiksem kui null (15, 10, 5, 0, - 5, ...), kus r = - 5

P.A. omadused

1. vara:

Lõplikus P.A.-s on kahe äärmustest võrdsel kaugusel oleva mõiste summa võrdne äärmuste summaga.

Näide

2. vara:

Arvestades P.A kolme järjestikust terminit, võrdub keskmine tähtaeg ülejäänud kahe termini aritmeetilise keskmega.

Näide

3. vara:

Lõplikus P.A-s, kus on paaritu arv termineid, võrdub keskne mõiste temast võrdsel kaugusel olevate terminite aritmeetilise keskmisega. See omadus tuleneb esimesest.

Üldtermini valem

Kus

an: termin, mida tahame arvutada
a1: P.A. esimene ametiaeg
n: selle termini positsioon, mida me tahame avastada
r: põhjus

Valemi selgitus

Kuna P.A suhe on konstantne, saame selle väärtuse arvutada mis tahes järjestikuse termini järgi, see tähendab:

Seetõttu võime P.A. teise ametiaja väärtuse leida järgmiselt:

Kolmanda termini leidmiseks kasutame sama arvutust:

A väärtuse asendamine₂, mille leidsime varem, on meil:

Kui järgime sama arutluskäiku, võime leida:

Leitud tulemusi jälgides märgime, et iga termin võrdub esimese termini summa suhtega, mis on korrutatud eelmise positsiooniga.

Seda arvutust väljendatakse P.A. üldtermini valemi kaudu, mis võimaldab meil teada aritmeetilise progressiooni mis tahes elementi.

Näide

Arvutage P.A kümnend tähtaeg: (26, 31, 36, 41, ...)

Lahendus

Esiteks peame tuvastama, et:

The₁ = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10. ametiaeg).

Asendades need väärtused üldtermini valemis, on meil:

The_ei =₁ + (n - 1). r
The₁₀ = 26 + (10-1). 5
The₁₀ = 26 + 9 .5
The₁₀ = 71

Seetõttu võrdub näidatud aritmeetilise progressiooni kümnes termin 71-ga.

Üldterminivalem mis tahes k-terminist

Tihti pole üldmõiste määratlemiseks, mida me nimetame, meil esimest mõistet a1, kuid me teame ühtegi muud terminit, mida nimetame ak.

Saame kasutada üldist terminivalemit mis tahes k-termini kohta:

Pange tähele, et ainus erinevus oli esimese valemi indeksi 1 muutus k teises.

Olemine,

an: P.A. n-nda termin (termin mis tahes n-positsioonil)
ak: P.A. k-s termin (mõiste mis tahes k-positsioonil)
r: põhjus

P.A. tingimuste summa

Lõpliku P.A. terminite summa leidmiseks kasutage lihtsalt valemit:

Kus

s_ei: P.A esimese n termini summa
The₁: P.A. esimene ametiaeg
The_ei: hõivab järjestuses n-nda positsiooni (termin positsioonil n)
ei: ametiaeg

Loe ka PA ja PG.

Harjutus lahendatud

1. harjutus

PUC / RJ - 2018

Teades, et jadas olevad arvud (y, 7, z, 15) on aritmeetilises progressioonis, mida väärt on summa y + z?

a) 20
b) 14
c) 7
d) 3.5
e) 2

Vt vastus

Z väärtuse leidmiseks võime kasutada omadust, mis ütleb, et kui meil on kolm järjestikust terminit, võrdub keskmine tähtaeg ülejäänud kahe aritmeetilise keskmisega. Nii et meil on:

Kui z on võrdne 11, siis on suhe võrdne:

r = 11-7 = 4

Sel viisil võrdub y järgmisega:

y = 7 - 4 = 3

Seetõttu:

y + z = 3 + 11 = 14

Alternatiiv: b) 14

2. harjutus

IFRS - 2017

Alloleval joonisel on meil ristkülikute jada, mille kõrgus on a. Esimese ristküliku alus on b ja järgnevad ristkülikud on eelmise põhiväärtus pluss mõõtühik. Seega on teise ristküliku alus b + 1 ja kolmas b + 2 ja nii edasi.

Mõelge allpool toodud väidetele.

I - ristkülikualade jada on suhte 1 aritmeetiline progressioon.
II - ristkülikualade jada on suhte a aritmeetiline progressioon.
III - ristkülikute pindalade järjestus on suhte a geomeetriline progressioon.
IV - n-nda ristküliku pindala (A_ei) saab valemiga A_ei = a. (b + n - 1).

Kontrollige alternatiivi, mis sisaldab õigeid väiteid.

seal.
b) II.
c) III.
d) II ja IV.
e) III ja IV.

Vt vastus

Ristkülikute pindala arvutamisel on meil:

A = a. B
THE₁ = a. (b + 1) = a. b + a
THE₂ = a. (b + 2) = a. B. + 2
THE₃ = a. (b + 3) = a. b + 3a

Leitud avaldiste põhjal märgime, et järjestus moodustab P.A suhte, mis on võrdne The. Järjestust jätkates leiame n-nda ristküliku ala, mille annab:

THE_ei= a. b + (n - 1). a
THE_ei = a. b + a. kell

pannes The tõendina on meil:

THE_ei = a (b + n - 1)

Alternatiiv: d) II ja IV.

3. harjutus

UERJ

Tunnistage jalgpallimeistrivõistluste korraldamist, kus sportlaste saadud hoiatused on esindatud ainult kollaste kaartidega. Need kaardid teisendatakse trahvideks vastavalt järgmistele kriteeriumidele:

• Esimesed kaks saadud kaarti trahve ei tekita;
• Kolmas kaart toob trahvi 500,00 R $.
• Järgmised kaardid tekitavad trahve, mille väärtusi suurendatakse alati 500,00 R $ võrra võrreldes eelmise trahvi väärtusega.

Tabelis on toodud trahvid, mis on seotud esimese viie sportlasele rakendatud kaardiga.

Mõelgem sportlasele, kes sai meistrivõistluste ajal 13 kollast kaarti. Kõigi nende kaartide poolt loodud trahvide summa on reaalselt:

a) 30 000
b) 33 000
c) 36 000
d) 39 000

Vt vastus

Õige vastus: b) 33 000

Alates kolmandast kollasest kaardist suureneb trahvisumma P.A-s suhtega 500,00 R $. Arvestades esimest tähtaega a1, kolmanda kaardi väärtusega R $ 500.00.

Trahvide kogusumma määramiseks peame kasutama P.A tingimuste summa valemit.

Kuna sportlasel on 13 kollast kaarti, kuid esimesed kaks trahve ei tekita, teeme P.A-ks 13-2 mõistet, see tähendab 11 tähtaega.

Seega on meil järgmised väärtused:

a1 = 500
n = 11
r = 500

N-nda termini a11 väärtuse leidmiseks kasutame üldist termini valemit.

an = a1 + (n-1) .r
a21 = 500 + (11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500

P.A terminite summa valemi rakendamine

Lahendage rohkem harjutusi:

Aritmeetiline edenemine - harjutused

Lisateavet lugege ka:

• Numbriline järjestus
• Geomeetriline progressioon
• Geomeetriline progress - harjutused
• Matemaatika valemid